Bonjour, j'aurai besoin d'aide sur cet exo sur les matrices en maths expertes. merci d'avance.
M= [tex]\left[\begin{array}{ccc}3&1\\-3&-1\end{array}\right][/tex]
P= [tex]\left[\begin{array}{ccc}0&1\\1&-2\end{array}\right][/tex]
D= [tex]\left[\begin{array}{ccc}1&1\\1&1\end{array}\right][/tex]
a) démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n≥1, [tex]M^{n}=PD^{n}P^{-1}[/tex]
b) on admet que pour tout entier naturel n≥1, [tex]D^{n}=\left[\begin{array}{ccc}2^{n-1} &2^{n-1}\\2^{n-1}&2^{n-1}\end{array}\right][/tex]. Exprimer alors [tex]M^{n}[/tex] en fonction de n.
M= [tex]\left[\begin{array}{ccc}3&1\\-3&-1\end{array}\right][/tex]
P= [tex]\left[\begin{array}{ccc}0&1\\1&-2\end{array}\right][/tex]
D= [tex]\left[\begin{array}{ccc}1&1\\1&1\end{array}\right][/tex]
a) démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n≥1, [tex]M^{n}=PD^{n}P^{-1}[/tex]
b) on admet que pour tout entier naturel n≥1, [tex]D^{n}=\left[\begin{array}{ccc}2^{n-1} &2^{n-1}\\2^{n-1}&2^{n-1}\end{array}\right][/tex]. Exprimer alors [tex]M^{n}[/tex] en fonction de n.
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Lista de comentários
Réponse :
Explications étape par étape :
vérification pour n = 1 : on vérifie par le calcul que
[tex]PDP^{-1}=M[/tex]
Hérédité :
Montrons que pour tout n de N, n > 0, si [tex]PD^nP^{-1}=M^n[/tex] alors [tex]PD^{ n+1}P^{-1}=M^{n+1}[/tex]
[tex]M^{n+1}=M^n\times M[/tex] donc [tex]M^{n+1}=PD^nP^{-1}\times\,PDP^{-1}[/tex]
Or [tex]P^{-1}P=Id[/tex] donc [tex]M^{n+1}=PD^n\times\,DP^{-1}[/tex] donc [tex]M^{n+1}=PD^{ n+1}P^{-1}[/tex]
La propriété est vérifiée pour tout n ≥ 1
b) il suffit d'appliquer la relation précédente pour calculer [tex]M^n[/tex]