Réponse :

Attention, on ne dit jamais la primitive mais une primitive.
La réponse est par exemple [tex]x \mapsto (x-2)\mathrm{e}^{-x}.[/tex]

Explications étape par étape :

Il ne s'agit pas d'une primitive usuelle, mais plutôt d'un produit de fonctions. On va donc faire une intégration par parties.

[tex]\displaystyle\int \frac{3-x}{\mathrm{e}^{x}} \, \mathrm{d}x = \int (3-x)\mathrm{e}^{-x} \mathrm{d}x = \int u(x)v'(x) \mathrm{d} x[/tex]

en notant : [tex]u(x) = 3-x \text{ et } v'(x) = \mathrm{e}^{-x}[/tex].
Dans ce cas, on a : [tex]u'(x) = -1 \text{ et } v(x) = -\mathrm{e}^{-x}[/tex] (par exemple).

Donc, par IPP :

[tex]I := \displaystyle \int \frac{3-x}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{d}x = \left[(3-x)\times (-\mathrm{e}^{-x})\right] - \int (-1) \times (-\mathrm{e}^{-x})\mathrm{d}x[/tex]

soit :

[tex]I = \Big[x\mathrm{e}^{-x} - 3\mathrm{e}^{-x}\Big] - \displaystyle \int \mathrm{e}^{-x} \mathrm{d}x = x\mathrm{e}^{-x} - 3\mathrm{e}^{-x} +\mathrm{e}^{-x}[/tex].

D'où, en simplifiant :

[tex]\boxed{I = (x-2) \mathrm{e}^{-x}}[/tex] ce qui donne l'expression d'une primitive de la fonction de l'énoncé.