Devoir de première S.
Soit
f une fonction définie sur un intervalle I, vérifiant que pour tout
x appartient à I,
on a f(x) appartient à J, et soit g une fonction définie sur J.
Soit [tex] x_{1} [/tex] , [tex] x_{2} [/tex] appartiennent à I avec [tex] x_{1} [/tex] [tex] \leq [/tex] [tex] x_{2} [/tex].
a) On suppose f croissante sur I, et g croissante sur J: montrer que g o f est croissante sur I.
b) Montrer que si f et g sont toutes deux décroissantes, g o f et croissante sur I.
c) Montrer que si f et g ont des sens de variation différents, g o f est décroissante sur I.
Soit
f une fonction définie sur un intervalle I, vérifiant que pour tout
x appartient à I,
on a f(x) appartient à J, et soit g une fonction définie sur J.
Soit [tex] x_{1} [/tex] , [tex] x_{2} [/tex] appartiennent à I avec [tex] x_{1} [/tex] [tex] \leq [/tex] [tex] x_{2} [/tex].
a) On suppose f croissante sur I, et g croissante sur J: montrer que g o f est croissante sur I.
b) Montrer que si f et g sont toutes deux décroissantes, g o f et croissante sur I.
c) Montrer que si f et g ont des sens de variation différents, g o f est décroissante sur I.
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Si x < y alors, comme g est décroissante, on a g(x)>g(y)
donc si x < y, on a alors g(f(x))>g(f(y)) , puisque g est décroissante.
Donc on sait que g(f(x))=(gof)(x) et , g(f(y)) = (gof)(y) donc on a bien (gof)(x)>(gof)(y)
Alors on peut bien dire que la fonction gof est décroissante sur I.