considere que o produto das raízes da equação
[tex]{x}^{2} - 2mx+m =0 [/tex]
é 4, qual é a soma dessas raízes?
[tex]{x}^{2} - 2mx+m =0 [/tex]
é 4, qual é a soma dessas raízes?
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[tex]\displaystyle \sf \boxed{\begin{matrix}\sf lembrete : \\\\ \sf a\cdot x^2+b\cdot x+c = 0 \\\\ \displaystyle \sf x_1+x_2 = \frac{-b}{a} \\\\ \displaystyle \sf x_1\cdot x_2 = \frac{c}{a}\\\\ \sf \ x_1 \ e \ x_2 \ \text{s\~ao \ ra\'izes }\end{matrix} } \\\\\\\\ temos : \\\\\ x^2-2mx+m = 0\\\\ a = 1 \ ; \ b = -2m \ \ ; \ c = m \\\\ \underline{\text{produto das raizes }}: \\\\ \ x_1\cdot x_2 = 4 \\\\ \frac{m}{1} = 4 \to m = 4[/tex]
[tex]\displaystyle \sf \underline{\text{Soma das raizes}} : \\\\ x_1+x_2 = \frac{-(-2m)}{1} \\\\ x_1+x_2 = 2m \\\\ x_1+x_2 = 2\cdot 4 \\\\ \Large\boxed{\sf \ x_1+x_2 = 8\ }\checkmark[/tex]
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✅ Tendo finalizado os cálculos, concluímos que o resultado da soma das raízes da referida equação quadrática é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf x' + x'' = 8\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Seja a equação quadrática:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x^{2} - 2mx + m = 0\end{gathered}$}[/tex]
Cujos coeficientes dados são:
[tex]\Large\begin{cases} a = 1\\b = -2m\\c = m\end{cases}[/tex]
Sabendo que:
[tex]\Large\begin{cases} x' \cdot x'' = 4\\x' + x'' = \:?\end{cases}[/tex]
Sabendo pelas relações de Girard que:
[tex]\LARGE\begin{cases} x' \cdot x'' = \frac{c}{a}\\x' + x'' = -\frac{b}{a}\end{cases}[/tex]
Então, podemos inicialmente identificar o valor de "m". Para isso, fazemos:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}x' \cdot x'' & = 4\\\frac{m}{1} & = 4\\m & = 4\end{aligned} $}[/tex]
Portanto, o valor de "m" é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} m = 4\end{gathered}$}[/tex]
Agora, já que achamos o valor de "m", devemos encontrar o valor da soma das raízes. Então, temos:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}x' + x'' & = -\frac{b}{a}\\& = -\frac{(-2m)}{1}\\& = -\frac{(-2\cdot4)}{1}\\& = -\frac{(-8)}{1}\\& = \frac{8}{1}\\& = 8\end{aligned} $}[/tex]
✅ Portanto, a soma das raízes é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x' + x'' = 8\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
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