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Observe o seguinte passo:

[tex] \large{ \sf{\Psi= \: \displaystyle\sum^{ \infty }_{ \sf{n = 1} } \cfrac{ {( - 1)}^{ \sf{n}} }{ \sf{ {2}^{n} \times n(n + 1) } } }} [/tex]

[tex] \large{\sf{\Psi=\displaystyle\sum \cfrac{ {( - 1)}^{ \sf{n}} \sf{(n + 1 - n)} }{\sf{ {2}^{n} \times n(n + 1)}}} }[/tex]

[tex]\large{ \sf{\Psi=\displaystyle\sum^{ \infty }_{ \sf{n = 1} }\cfrac{\left( \sf{ - \cfrac{1}{2} } \right)^{ \sf{n} } }{\sf{n}}-\displaystyle\sum^{\infty }_{ \sf{n = 1}} \cfrac{ \sf{ {( - 1)}^{n} } }{\sf{ {2}^{n} (n + 1)}} }}[/tex]

[tex]\large{\sf{\Psi= - ln\left( 1 + \cfrac{1}{2} \right) + 2\left\{ \cfrac{1}{2} - \cfrac{1}{2} + \displaystyle\sum^{ \infty }_{ \sf{n = 2} } \cfrac{\left( \sf{ - \cfrac{1}{2} } \right)^{\sf{n}} }{\sf{n}} \right\} }}[/tex]

[tex]\large{\sf{\Psi= - ln\left( \sf{ \cfrac{3}{2} } \right) + 1 - 2 ln\left( \sf{ \cfrac{3}{2} } \right)}}[/tex]

[tex] \large{\red{ \boxed{\sf{\therefore\Psi=1 - 3 ln\left( \cfrac{3}{2} \right)}}}}[/tex]

Então, podemos afirmar que o resultado é [tex] \large{\sf{\Psi=1 - 3 ln\left( \cfrac{3}{2} \right)}}[/tex]

“O importante é entender profundamente as coisas e as relações entre elas. É nisso que reside a inteligência.” (Laurent Schwartz)