[Teorema 1] Todo natural ímparmaiorque1 pode ser escrito como diferença entre dois quadrados.
[Demonstração] Seja n ∈ ℕ um número impar,k > 1. Logo, existe k ∈ ℕ, tal que n = 2k + 1.
Some e subtraiak² ao lado direito para completar os quadrados:
⟹ n = 2k + 1 + k² − k²
⟹ n = (k² + 2k + 1) − k²
⟹ n = (k + 1)² − k²
que é uma diferença entre os quadrados de dois consecutivos. Portanto, n é igual a uma diferença entre dois quadrados. □
[Teorema 2]Todo natural múltiplo de 4 pode ser escrito como diferença entre dois quadrados.
[Demonstração] Seja n ∈ ℕ um múltiplo de4. Logo, existe k ∈ ℕ, tal que n = 4k.
Reescreva 4k como 2k + 2k:
⟹ n = 2k + 2k
Some e subtraia1 ao lado direito:
⟹ n = 2k + 2k + 1 − 1
⟹ n = 2k + 1 + 2k − 1
Para completar os quadrados, some e subtraiak² ao lado direito:
⟹ n = 2k + 1 + 2k − 1 + k² − k²
Reorganize as parcelas:
⟹ n = k² + 2k + 1 − k² + 2k − 1
⟹ n = (k² + 2k + 1) − (k² − 2k + 1)
⟹ n = (k + 1)² − (k − 1)²
que é uma diferença entre dois quadrados. □
Por fim, vamos à demonstração do teorema proposto nesta tarefa.
Todo cubo perfeito maior que 1 é igual a diferença entre dois quadrados
[Teorema 3] Seja n ∈ ℕ um cubo perfeito, n > 1. Então n é igual a diferença entre dois quadrados perfeitos.
[Demonstração] Temos dois casos a considerar.
Caso 1: n é ímpar.
Se n é ímpar, pelo Teorema 1, garantimos que n é igual a diferença entre dois quadrados.
Caso 2: n é par.
Como n é um cubo perfeito e é par, então n deve ser múltiplo de 2³ = 8. Como 4 | 8, então n é em particular um múltiplo de 4. Pelo Teorema 2, garantimos que n também é igual a diferença entre dois quadrados.
Portanto, em qualquer caso, se n é um cubo perfeito, n > 1, então n é igual a diferença entre dois quadrados perfeitos. ■
Obs.: Pelos Teoremas1 e 2, podemos provar também que qualquer potência perfeita pode ser escrita como uma diferença entre dois quadrados. A demonstração é semelhante à que foi feita acima.
Lista de comentários
Verified answer
Alguns teoremas com demonstrações prévias
[Teorema 1] Todo natural ímpar maior que 1 pode ser escrito como diferença entre dois quadrados.
[Demonstração] Seja n ∈ ℕ um número impar, k > 1. Logo, existe k ∈ ℕ, tal que n = 2k + 1.
Some e subtraia k² ao lado direito para completar os quadrados:
⟹ n = 2k + 1 + k² − k²
⟹ n = (k² + 2k + 1) − k²
⟹ n = (k + 1)² − k²
que é uma diferença entre os quadrados de dois consecutivos. Portanto, n é igual a uma diferença entre dois quadrados. □
[Teorema 2] Todo natural múltiplo de 4 pode ser escrito como diferença entre dois quadrados.
[Demonstração] Seja n ∈ ℕ um múltiplo de 4. Logo, existe k ∈ ℕ, tal que n = 4k.
Reescreva 4k como 2k + 2k:
⟹ n = 2k + 2k
Some e subtraia 1 ao lado direito:
⟹ n = 2k + 2k + 1 − 1
⟹ n = 2k + 1 + 2k − 1
Para completar os quadrados, some e subtraia k² ao lado direito:
⟹ n = 2k + 1 + 2k − 1 + k² − k²
Reorganize as parcelas:
⟹ n = k² + 2k + 1 − k² + 2k − 1
⟹ n = (k² + 2k + 1) − (k² − 2k + 1)
⟹ n = (k + 1)² − (k − 1)²
que é uma diferença entre dois quadrados. □
Por fim, vamos à demonstração do teorema proposto nesta tarefa.
Todo cubo perfeito maior que 1 é igual a diferença entre dois quadrados
[Teorema 3] Seja n ∈ ℕ um cubo perfeito, n > 1. Então n é igual a diferença entre dois quadrados perfeitos.
[Demonstração] Temos dois casos a considerar.
Se n é ímpar, pelo Teorema 1, garantimos que n é igual a diferença entre dois quadrados.
Como n é um cubo perfeito e é par, então n deve ser múltiplo de 2³ = 8. Como 4 | 8, então n é em particular um múltiplo de 4. Pelo Teorema 2, garantimos que n também é igual a diferença entre dois quadrados.
Portanto, em qualquer caso, se n é um cubo perfeito, n > 1, então n é igual a diferença entre dois quadrados perfeitos. ■
Obs.: Pelos Teoremas 1 e 2, podemos provar também que qualquer potência perfeita pode ser escrita como uma diferença entre dois quadrados. A demonstração é semelhante à que foi feita acima.
Dúvidas? Comente.
Bons estudos! :-) [tex]\,[/tex]