01) Dado que n é um número inteiro positivo, determine o valor de n que cumpre a seguinte igualdade:
[tex] \large{\sf{ \dfrac{ {n}^{3} - 3 }{ {n}^{3} } + \dfrac{ {n}^{3} - 4}{ {n}^{3} } + \dfrac{ {n}^{3} - 5 }{ {n}^{3} } + \ldots + \dfrac{5}{ {n}^{3} } + \dfrac{4}{ {n}^{3} } + \dfrac{3}{ {n}^{3} } = 169}}[/tex]
[tex] \large{\sf{ \dfrac{ {n}^{3} - 3 }{ {n}^{3} } + \dfrac{ {n}^{3} - 4}{ {n}^{3} } + \dfrac{ {n}^{3} - 5 }{ {n}^{3} } + \ldots + \dfrac{5}{ {n}^{3} } + \dfrac{4}{ {n}^{3} } + \dfrac{3}{ {n}^{3} } = 169}}[/tex]
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Resposta: O conjunto solução é [tex]S=\{7\}.[/tex]
Algumas propriedades de somatórios
Dados a, b ∈ ℕ, b ≥ a, c ∈ ℝ constante e f, g: ℕ ⟶ ℝ sequências numéricas, valem as propriedades a seguir:
[P.1] [tex]\displaystyle\sum_{k=a}^b[f(k)\pm g(k)]=\sum_{k=a}^b f(k)\pm \sum_{k=a}^b g(k).[/tex]
[P.2] [tex]\displaystyle\sum_{k=a}^b c\cdot f(k)=c\cdot \sum_{k=a}^b f(k).[/tex]
[P.3] [tex]\displaystyle\sum_{k=a}^b 1=b-a+1.[/tex]
[P.4] [tex]\displaystyle\sum_{k=a}^b k=\dfrac{(a+b)(b-a+1)}{2}.[/tex]
Encontrando uma fórmula fechada para o somatório
Seja [tex]S_n=\dfrac{n^3-3}{n^3}+\dfrac{n^3-4}{n^3}+\dfrac{n^3-5}{n^3}+\cdots+\dfrac{5}{n^3}+\dfrac{4}{n^3}+\dfrac{3}{n^3}.[/tex]
[tex]\displaystyle\Longleftrightarrow\quad S_n=\frac{(n^3-3)+(n^3-4)+(n^3-5)+\cdots +5+4+3}{n^3}\\\\ \Longleftrightarrow\quad S_n=\frac{1}{n^3}\sum_{k=3}^{n^3-3}(n^3-k)[/tex]
O somatório da diferença é igual à diferença entre os somatórios:
[tex]\displaystyle\overset{\mathsf{P.1}}{\Longleftrightarrow}\quad S_n=\frac{1}{n^3}\sum_{k=3}^{n^3-3}n^3-\frac{1}{n^3}\sum_{k=3}^{n^3-3}k[/tex]
O fator n³ é uma constante no primeiro somatório. Portanto, temos
[tex]\displaystyle\overset{\mathsf{P.2}}{\Longleftrightarrow}\quad S_n=\frac{1}{n^3}\cdot n^3\sum_{k=3}^{n^3-3} 1-\frac{1}{n^3}\sum_{k=3}^{n^3-3}k\\\\ \Longleftrightarrow\quad S_n=\sum_{k=3}^{n^3-3} 1-\frac{1}{n^3}\sum_{k=3}^{n^3-3}k[/tex]
[tex]\overset{\mathsf{P.3~e~P.4}}{\Longleftrightarrow}\quad S_n=[(n^3-3)-3+1]-\dfrac{1}{n^3}\cdot \dfrac{[3+(n^3-3)]\cdot [(n^3-3)-3+1]}{2}\\\\ \Longleftrightarrow\quad S_n=(n^3-5)-\dfrac{1}{n^3}\cdot \dfrac{n^3\cdot (n^3-5)}{2}\\\\ \Longleftrightarrow\quad S_n=(n^3-5)-\dfrac{n^3-5}{2}\\\\ \Longleftrightarrow\quad S_n=\dfrac{2(n^3-5)-(n^3-5)}{2}\\\\ \Longleftrightarrow\quad S_n=\dfrac{n^3-5}{2}[/tex]
Resolvendo a equação dada
Dessa forma, a equação a ser resolvida fica
[tex]\dfrac{n^3-5}{2}=169\\\\ \Longleftrightarrow\quad n^3-5=2\cdot 169\\\\ \Longleftrightarrow\quad n^3-5=338\\\\ \Longleftrightarrow\quad n^3=338+5\\\\ \Longleftrightarrow\quad n^3=343\\\\ \Longleftrightarrow\quad n^3=7^3[/tex]
Como a função cúbica é injetiva sobre os naturais, devemos ter
[tex]\Longleftrightarrow\quad n=7[/tex]
Conjunto solução: [tex]S=\{7\}.[/tex]
Dúvidas? Comente.
Bons estudos! :-)