Bonjour, je suis vraiment bloquée sur cet exercice et un peu d'aide ne serait pas de refus...
La suite (un ) est définie par u0 = 2, et, pour tout entier naturel n, un+1 = [tex]\frac{1}{2}[/tex]un + 4.
1. Montrer par récurrence que (un ) est croissante et majorée par 8.
2. Démontrer que (un ) converge vers un réel L appartenant à [2 ;8].
3. Déterminer la valeur de L
Merci d'avance
La suite (un ) est définie par u0 = 2, et, pour tout entier naturel n, un+1 = [tex]\frac{1}{2}[/tex]un + 4.
1. Montrer par récurrence que (un ) est croissante et majorée par 8.
2. Démontrer que (un ) converge vers un réel L appartenant à [2 ;8].
3. Déterminer la valeur de L
Merci d'avance
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Réponse :
Explications étape par étape :
Initialisation
[tex]u_0=2\\u_1=\frac{1}{2} u_0+4=\frac{1}{2}*2+4=5\\ u_0\leq u_1\leq 8[/tex]
La propriété est initialisée
Hérédité
Supposons qu'il existe un entier naturel n qui vérifie la propriété P(n) :
[tex]u_{n+1} < u_n < 8[/tex]
et démontrons que cette propriété est vraie au rang suivant :
[tex]u_{n+2} < u_{n+1} < 8[/tex]
[tex]u_{n+1} < u_n < 8\\\frac{1}{2}u_{n+1} < \frac{1}{2} u_n < \frac{1}{2}*8\\\frac{1}{2}u_{n+1}+4 < \frac{1}{2}u_n+4 < 4+4\\ u_{n+2} < u_{n+1} < 8[/tex]
La propriété est héréditaire
Conclusion
La propriété P(n) est initialisée est héréditaire, don d'après le prinipe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n
[tex]u_{n+1} < u_n < 8[/tex]
La suite (u) est croissante et majorée par 8
2. La suite (u) qui est croissante et qui admet 8 comme majorant, est une suite convergente vers une limite réelle L ≤ 8.
Comme La suite (u) est égaleme[tex]u_{n+1}=u_n=L\\\frac{1}{2}u_n+4=L\\\frac{1}{2} L+4=L\\4=L-\frac{1}{2}L\\ 4=\frac{1}{2} L\\L=8[/tex]nt minorée par 2, la limite L appartient à l'intervalle [2 ; 8].
3. Quand n tend vers l'infini,
[tex]u_{n+1}=u_n=L\\\frac{1}{2}L+4 =L\\\frac{1}{2}L=4\\ L=8[/tex]