Resposta:

Explicação passo a passo:

Vou tentar responder da seguinte forma, tendo esta progessão, ela parecerá como:

a1 + (a1 +8) + (a1+16) +....> 0

e podemos simpilicar isso como

a1n + 8(n-1)  > 0

(a1 multiplicado n vezes por uma soma de n-1 múltiplos de 8) pois o primeiro termo não é adicionado 8

Um bom começo para começar a saber quando a soma desta progressão passa a ser positiva é saber primeiro em qual termo ela se tornará positiva.

Se estamos somando de 8 em 8 então o termo que será positivo será

-375 +8n > 0

8(n-1) > 375

n > 375/8   como 375/8  = 46,875 então o próximo número inteiro que corresponde é o 47, podemos ver isso substituindo o n por 47

-375 + 8*47 > 0

-375 + 376 >0

1 > 0

Ou seja, essa progressão passa a ser positiva (igual a 1) no termo 48 (47 termos mais o primeiro termo):

Fazendo a soma destes primeiros 48 termos obtemos:

a1 = -375

a48 = 1

n = 48

S = ((-375 + 1)*47)/2

S = -8976

Ou seja a soma dos próximos termos a partir do 48 tem que ser maior que -8976 para que a soma de todos os termos seja positiva

o múltiplo de 8 multiplicando o último termo é o 47, como descrito anteriormente, então a partir do termo 48 temos a seguinte expressão:

1 + 9 + 17 + 25...> 8976

que também é um PA de razão 8

se de -375 até 1, então precisamos ir de 9 até 376 pelo menos, ou seja

ou seja precisamos de mais 47 termos ! então os total de termo é 95

no caso o último termo será o 377.

an = 9+ (47 - 1)*8

an = 377

Ou seja esta PA de 1...377 tem 47 termos que:

S = (9+377)*47/2

S = 9071

e as duas somas são de fato maiores

Então o mínimo de termos necessário para essa PA ser positiva são 95 termos