Uma lotação possui três bancos para passageiros, cada um com três lugares, e deve transportar os três membros da família Sousa, o casal Lúcia e Mauro e mais quatro pessoas. Além disso,
1. a família Sousa quer ocupar o mesmo banco;
2. Lúcia e Mauro querem sentar-se lado a lado.
Nessas condições, o número de maneiras distintas de dispor os nove passageiros no lotação é igual a
a) 928
b) 1152
c) 1828
d) 2412
e) 3456
Resposta certa: E
Eu fiz assim:
l_ _ _l l_ _l _ _ _ _
Nos primeiros três bancos eu coloquei a família Sousa, nos dois seguintes bancos coloquei o casal, e no restante coloquei os outros passageiros.
A família faz uma permutação de 3! e o casal de 2!.
Depois considerei os grupos que iam sentar juntos (o casal e a família) como sendo 1, então ficou:
l___l l__l _ _ _ _
Então ficaram 6 opções de lugares. por isso considerei uma permutação de 6!
Por fim fiz a multiplicação final: 3! × 2! × 6! Só que o resultado ficou 8640
Alguém poderia me dizer o que fiz de errado? Realmente não estou conseguindo ver meu erro.
1. a família Sousa quer ocupar o mesmo banco;
2. Lúcia e Mauro querem sentar-se lado a lado.
Nessas condições, o número de maneiras distintas de dispor os nove passageiros no lotação é igual a
a) 928
b) 1152
c) 1828
d) 2412
e) 3456
Resposta certa: E
Eu fiz assim:
l_ _ _l l_ _l _ _ _ _
Nos primeiros três bancos eu coloquei a família Sousa, nos dois seguintes bancos coloquei o casal, e no restante coloquei os outros passageiros.
A família faz uma permutação de 3! e o casal de 2!.
Depois considerei os grupos que iam sentar juntos (o casal e a família) como sendo 1, então ficou:
l___l l__l _ _ _ _
Então ficaram 6 opções de lugares. por isso considerei uma permutação de 6!
Por fim fiz a multiplicação final: 3! × 2! × 6! Só que o resultado ficou 8640
Alguém poderia me dizer o que fiz de errado? Realmente não estou conseguindo ver meu erro.
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Para solucionar este problema, não dá para analisar apenas as permutações por grupo. Deve-se analisar também como esses grupos irão se posicionar nas fileiras.
Inicialmente, vamos analisar as premissas uma a uma, supondo a ordem em que entrariam na lotação e considerando que após analisados, os locais estariam ocupados:
A - Família Souza:
A família é composta por 3 membros que devem sentar-se lado a lado.
Para definir quantas possibilidades há para isso, deve-se calcular a permutação dos 3 membros da família:
P(n) = n!
P(3) = 3!
P(3) = 3*2*1
P(3) = 6
Como há 3 possibilidades de bancos para 3 pessoas, deve-se multiplicar o resultado obtido por 3:
A = 6*3
A = 18 possibilidades.
B – Casal:
O casal é composto por 2 pessoas que devem sentar-se lado a lado. Portanto, deve-se calcular a permutação dos 2 membros:
P(2) = 2!
P(2) = 2*1
P(2) = 2
Agora, há apenas duas fileiras de 3 bancos disponíveis.
Em cada fileira, há a possibilidade de o casal se sentar na ponta da direita ou da esquerda. Portanto, há 2 possibilidades para cada permutação por fileira. Como são duas fileiras:
B = 2*2*2
B = 8 possibilidades.
C – Demais passageiros:
Para os demais passageiros, não há nenhuma regra para posicionamento. Há 4 passageiros para ocuparem 4 lugares restantes, sem ordem definida. Portanto, deve-se calcular a permutação dos 4 membros:
C = P(4)
P(4) = 4!
P(4) = 4*3*2*1
P(4) = 24
C = 24 possibilidades.
Total de possibilidades:
Para calcular o total de possibilidades (T), deve-se multiplicar as possibilidades de cada grupo:
T = A*B*C
T = 18*8*24
T = 3.456 possibilidades