ur
n
tempéra
le taux d'évolution de la température d'un corp
La loi de refroidissement de Newton stipule
proportionnel à la différence entre la t
de ce corps et celle du milieu environnant,
Une tasse de café est servie à une températ
en degré Celsius, supposée constante, est notée
initiale de 80 °C dans un milieu dont la températ
Objectif: on se propose d'étudier le refroidi
ment du café en appliquant la loi de Newton,
Pour tout entier naturel n, on note T, la
tempéra
du café à l'instant n, avec T, en
degré Celsius, et
minute. Ainsi, To= 80.
On modélise la loi de Newton entre deux ming
consécutives quelconques n et n+1 par l'égalité:
To+1-To=K(T-M)
où k est une constante réelle.
On choisit M=10 et k = -0,2.
Ainsi, pour tout entier naturel n,
Tot-Tn=-0,2(T-10).
sens
1. D'après le contexte, peut-on conjecturer le
variation de la suite (T)?
2. Montrer que pour tout n de N, Tn+1 = 0,8 T +2
3. a) Déterminer une suite constante vérifiant la re
tion de récurrence suivie par (T).
b) En déduire que, pour tout entier naturel n,
T₁=70x0,8 +10.
c) Déterminer la limite de la suite (T).
4. On considère l'algorithme
ci-contre.
a) Au début, on affecte la
valeur 80 à la variable T et la
valeur 0 à la variable n.
Pour la valeur A=40, recopier et compléter autar
que nécessaire le tableau suivant.
T
66
n
Tant que TA
T+0,8T+2
nen+1
Fin Tant que
80
0
Vrai
Condition TA
b) En déduire la valeur de n à la fin de l'exécution d
l'algorithme lorsque la valeur de A est 40.
c) Interpréter cette valeur dans le contexte de cett
situation.
n
tempéra
le taux d'évolution de la température d'un corp
La loi de refroidissement de Newton stipule
proportionnel à la différence entre la t
de ce corps et celle du milieu environnant,
Une tasse de café est servie à une températ
en degré Celsius, supposée constante, est notée
initiale de 80 °C dans un milieu dont la températ
Objectif: on se propose d'étudier le refroidi
ment du café en appliquant la loi de Newton,
Pour tout entier naturel n, on note T, la
tempéra
du café à l'instant n, avec T, en
degré Celsius, et
minute. Ainsi, To= 80.
On modélise la loi de Newton entre deux ming
consécutives quelconques n et n+1 par l'égalité:
To+1-To=K(T-M)
où k est une constante réelle.
On choisit M=10 et k = -0,2.
Ainsi, pour tout entier naturel n,
Tot-Tn=-0,2(T-10).
sens
1. D'après le contexte, peut-on conjecturer le
variation de la suite (T)?
2. Montrer que pour tout n de N, Tn+1 = 0,8 T +2
3. a) Déterminer une suite constante vérifiant la re
tion de récurrence suivie par (T).
b) En déduire que, pour tout entier naturel n,
T₁=70x0,8 +10.
c) Déterminer la limite de la suite (T).
4. On considère l'algorithme
ci-contre.
a) Au début, on affecte la
valeur 80 à la variable T et la
valeur 0 à la variable n.
Pour la valeur A=40, recopier et compléter autar
que nécessaire le tableau suivant.
T
66
n
Tant que TA
T+0,8T+2
nen+1
Fin Tant que
80
0
Vrai
Condition TA
b) En déduire la valeur de n à la fin de l'exécution d
l'algorithme lorsque la valeur de A est 40.
c) Interpréter cette valeur dans le contexte de cett
situation.
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Réponse:
1. D'après le contexte, on peut conjecturer que la suite (T) décrit le refroidissement du café au fil du temps.
2. Pour montrer que pour tout n de N, Tn+1 = 0,8Tn + 10, nous utilisons la relation de récurrence donnée par la loi de Newton. En remplaçant To+1 par Tn+1, To par Tn et en utilisant les valeurs de M et k, nous obtenons l'équation Tn+1 = 0,8Tn + 10.
3. a) Pour déterminer une suite constante vérifiant la relation de récurrence, nous cherchons une valeur constante T₀ telle que T₀ = 0,8T₀ + 10. En résolvant cette équation, nous trouvons T₀ = 70.
b) En utilisant T₀ = 70, nous pouvons déduire que pour tout entier naturel n, Tn = 0,8Tn-1 + 10. Donc, T₁ = 0,8(70) + 10 = 66.
c) Pour déterminer la limite de la suite (T), nous observons que la relation de récurrence Tn+1 = 0,8Tn + 10 implique que chaque terme de la suite est obtenu en multipliant le terme précédent par 0,8 et en ajoutant 10. Comme 0,8 est inférieur à 1, cela signifie que chaque terme de la suite sera de plus en plus proche de 10. Donc, la limite de la suite (T) est 10.
4. Malheureusement, je ne peux pas voir l'algorithme que vous mentionnez ci-contre. Pouvez-vous le copier et le coller ici pour que je puisse vous aider avec cela?