Resposta:

Para deduzir a fórmula do volume da esfera usando o princípio de Cavalieri, podemos seguir os seguintes passos:

Considere uma esfera de raio "r" e corte-a paralelamente ao seu eixo com um plano que está a uma distância "x" do centro da esfera. A seção transversal resultante é uma circunferência com raio "R" = √(r² - x²)

Calcule a área da seção transversal A = πR²

Multiplique a área da seção transversal pela altura "x" para obter o volume parcial do sólido de revolução V = A * x

Integrando essa fórmula a partir de -r até r, temos o volume total da esfera:

V = ∫(-r,r) π(r² - x²) dx = π ∫(-r,r) r² - x² dx = 2π ∫(0,r) r² - x² dx = 2π ∫(0,r) r² dx - ∫(0,r) x² dx = 2π ∫(0,r) r² dx - 1/3 ∫(0,r) x^3 dx

= 2π * (1/3) * r^3 * π = (4/3) * π * r^3

Portanto, a fórmula do volume da esfera é V = (4/3)πr^3