Réponse :

le couple solution cherché est (Z1 = 1-2i ; Z2 = 1+2i) .

Explications étape par étape :

■ avec Z1 = a + ib et Z2 = c + id :

  Z1 * Z2 = ac - bd + i (bc + ad) = 5

   --> ac - bd = 5   ET   bc + ad = 0 .

■ Z1 + Z2 = (a + c) + i (b + d) = 2

    --> a + c = 2   ET   b + d = 0 .

■ ces 4 équations avec 4 inconnues donnent :

  c = 2 - a ; d = -b ; 2a-a² + b² = 5 ; 2b-ab - ab = 0 .

  2b - 2 ab = 0 donne 2b(1-a) = 0

                            donc b = 0   OU   a = 1 .

■ cas où b = 0 :

  c = 2-a ; d = b = 0 ; a² - 2a + 5 = 0 impossible dans IR .

■ cas où a = 1 :

  c = 1 ; d = -b ; b² = 4 donc b = -2   OU   b = +2 .

■ conclusion :

   le couple solution cherché est (Z1 = 1-2i ; Z2 = 1+2i) .

■ remarque :

   (Z1 = 1+2i ; Z2 = 1-2i) serait le "couple symétrique" .

■ vérif :

  Z1 * Z2 = (1-2i) * (1+2i) = 1² - (2i)² = 1 - (-4) = 5 vérifié !

■ ATTENTION :

en voyant le texte "symétrique" de l' exercice,

on aurait pu partir directement de

Z1 = a+ib   ET   Z2 = a-ib ☺ .

• Merci beaucoup pour ta réponse et de l'avoir bien développée. ; )