Bonjour j'ai besoin d'aide en math. Soit f la fonction définit par : f(x) = x - 4 arctan x

May 2019 1 63 Report

Bonjour j'ai besoin d'aide en math.

Soit f la fonction définit par :

f(x) = x - 4 arctan x - $\frac{3}{2}$ ㏑ ( $\frac{x-1}{x+1}$ )

1. Déterminer le signe de $\frac{x-1}{x+1}$ selon les valueurs de x et en dédeduire le domaine de definition DR.
2.Vérifier que f est impaire. Qu'en déduit t'in pour la fonction f ?
3.Un logiciel de calcul formel donne :

deriv(x-4arcTan(x)-3/2ln((x-1)/((x+1)),x) = 1 +(1-7x^2)/(x^4-1)
Montrer que le signe de f'(x) est celui de x² - 7 pour x ε Dr

4. etudier les variation de F;
5. Calculer les limites de f aux bornes de Dr, interpréter graphiquement le réultat.
6. On donne le tracer de la courbe représentative de f sur ]1 +∞[. La droite d'équation y = x - 2π semble être une asymptote à la courbe représentative de d. justifier cette conjecture.
7. Determiner l'équation de l'asymptte à la courbe représentative de f en -∞

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Bonjour Design971

1) Signe de (x-1)/(x+1)

$\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-1&&1&&+\infty\\x-1&&-&-&-&0&+&\\x+1&&-&0&+&+&+&\\\frac{x-1}{x+1}&&+&||&-&0&+&\\\end{array}$

Donc,

$\dfrac{x-1}{x+1}\ \textgreater \ 0\Longleftrightarrow x\in]-\infty;-1[\cup]1;+\infty[\\\\\dfrac{x-1}{x+1}\ \textless \ 0\Longleftrightarrow x\in]-1;1[$

Dans l’expression de f(x), le logarithme ne sera défini que si $\dfrac{x-1}{x+1}\ \textgreater \ 0$ .

Aucune autre condition n’est requise.

Par conséquent, en tenant compte du signe du quotient, nous obtenons : $\boxed{D_f=]-\infty;-1[\cup]1;+\infty[}$

2) f est impaire si pour tout x appartenant à Df, (-x) appartient à Df et si pour tout x de Df, f(-x) = - f(x).

Or $x\in]-\infty;-1[\cup]1;+\infty[\Longrightarrow(-x)\in]-\infty;-1[\cup]1;+\infty[$

$f(-x)=-x-4\arctan(-x)-\dfrac{3}{2}\ln(\dfrac{-x-1}{-x+1})\\\\f(-x)=-x+4\arctan(x)-\dfrac{3}{2}\ln[\dfrac{-(x+1)}{-(x-1)}]\\\\f(-x)=-x+4\arctan(x)-\dfrac{3}{2}\ln(\dfrac{x+1}{x-1})\\\\f(-x)=-x+4\arctan(x)-\dfrac{3}{2}\ln(\dfrac{1}{\dfrac{x-1}{x+1}})$

$f(-x)=-x+4\arctan(x)+\dfrac{3}{2}\ln({\dfrac{x-1}{x+1})$

$f(-x)=-[x-4\arctan(x)-\dfrac{3}{2}\ln({\dfrac{x-1}{x+1})]$

$\\\\\boxed{f(-x)=-f(x)}$

Par conséquent, f est impaire.

La courbe représentative de la fonction f est donc symétrique par rapport à l’origine (0 ;0) du repère.

3) Selon le logiciel,

$f'(x)=1+\dfrac{1-7x^2}{x^4-1}\\\\f'(x)=\dfrac{x^4-1}{x^4-1}+\dfrac{1-7x^2}{x^4-1}\\\\f'(x)=\dfrac{x^4-1+1-7x^2}{x^4-1}\\\\f'(x)=\dfrac{x^4-7x^2}{x^4-1}\\\\f'(x)=\dfrac{x^2(x^2-7)}{x^4-1}\\\\f'(x)=\dfrac{x^2(x^2-7)}{(x^2+1)(x^2-1)}$

Or pour tout x appartenant ]-oo ;-1[ U ]1 ;+oo[,

x² > 0 ; x² +1 > 0 et x² - 1 > 0.

Par conséquent, le signe de f'(x) est celui de x² - 7 pour tout x € Df.

4) Signe de f’(x) et variations de f

$x^2-7=0\Longrightarrow x^2=7\Longrightarrow x=\sqrt{7}\ \ ou\ \ x=-\sqrt{7}$

$\begin{array}{|c|ccccccccccc|} x&-\infty&&-\sqrt{7}&&-1&&1&&\sqrt{7}&&+\infty\\x^2-7&&+&0&-&|&||&|&-&0&+&\\f'(x)&&+&0&-&|&||&|&-&0&+&\\f(x)&&\nearrow&\approx1&\searrow&|&||&|&\searrow&\approx-1&\nearrow&\\ \end{array}$

5) Calculs des limites de f aux bornes du domaine

$\lim\limits_{x\to-\infty}[x-4\arctan(x)-\dfrac{3}{2}\ln(\dfrac{x-1}{x+1})]=-\infty-4\times(-\dfrac{\pi}{2})-\dfrac{3}{2}\times\ln(1)\\\\ =-\infty+2\pi-0\\\\\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}[x-4\arctan(x)-\dfrac{3}{2}\ln(\dfrac{x-1}{x+1})]=-\infty}$

$\lim\limits_{x\to+\infty}[x-4\arctan(x)-\dfrac{3}{2}\ln(\dfrac{x-1}{x+1})]=+\infty-4\times\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{3}{2}\times\ln(1)\\\\=+\infty-2\pi-0\\\\\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}[x-4\arctan(x)-\dfrac{3}{2}\ln(\dfrac{x-1}{x+1})]=+\infty}$

$\lim\limits_{x\to-1^-}[x-4\arctan(x)-\dfrac{3}{2}\ln(\dfrac{x-1}{x+1})]=(-1)-4\times(-\dfrac{\pi}{4})-\dfrac{3}{2}\times\ln(\dfrac{-2}{0^-})\\\\=-1+\pi-(+\infty)\\\\\boxed{\lim\limits_{x\to-1^-}[x-4\arctan(x)-\dfrac{3}{2}\ln(\dfrac{x-1}{x+1})]=-\infty}$

$\lim\limits_{x\to1^+}[x-4\arctan(x)-\dfrac{3}{2}\ln(\dfrac{x-1}{x+1})]=1-4\times\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{3}{2}\times\ln(0^+)\\\\=1-\pi-(-\infty)\\\\\boxed{\lim\limits_{x\to1^+}[x-4\arctan(x)-\dfrac{3}{2}\ln(\dfrac{x-1}{x+1})]=+\infty}$

Interprétation graphique :

Il existe deux asymptotes verticales d’équations x = -1 et x = 1.

Il n’existe pas d’asymptote horizontale.

$6)\ \lim\limits_{x\to+\infty}[f(x)-(x-2\pi)=\lim\limits_{x\to+\infty}(f(x)-x+2\pi)\\\\=\lim\limits_{x\to+\infty}[-4\arctan(x)-\dfrac{3}{2}\ln(\dfrac{x-1}{x+1})+2\pi]=-4\times\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{3}{2}\times\ln(1)+2\pi\\\\=-2\pi-0+2\pi\\\\\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}[f(x)-(x-2\pi)=0}$

Donc la courbe représentative de f admet une asymptote oblique en +oo d’équation y = x - 2π

7) Puisque la fonction f est impaire, la courbe représentative de f admet une asymptote oblique en -oo d’équation y = x + 2π

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