Bonjour, je dois déterminer le périmètre minimal d'un rectangle d'aire 100cm².
Pour cela, j'ai trouvé la fonction f(x)= (100/x)+x
Bien que je pense avoir la bonne réponse je ne sais pas comment affirmer que la valeur minimal est atteint pr x=10 car je ne sais pas comment justifier que la fonction est ensuite croissante sur [10;+infini]. Merci pour votre aide!
Pour cela, j'ai trouvé la fonction f(x)= (100/x)+x
Bien que je pense avoir la bonne réponse je ne sais pas comment affirmer que la valeur minimal est atteint pr x=10 car je ne sais pas comment justifier que la fonction est ensuite croissante sur [10;+infini]. Merci pour votre aide!
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Réponse :
c' est pour un carré de 10 cm de côté
qu' on aura le Périmètre mini de 40 cm !
Explications étape par étape :
■ on apprend au Collège que le Périmètre mini
d' un rectangle de 100 cm² est en fait le Périmètre
d' un carré de 10 cm de côté ( soit 40 cm ) ♥
■ démonstration :
Périmètre = 2(Longueur + largeur) ♥
Aire = L * largeur = 100 cm² donne largeur = 100/L ;
donc Périmètre = 2(L + 100/L) = 2L + 200/L
■ étude de la fonction P telle que P(x) = 2x + 200/x :
intervalle d' étude = [ 1 ; 50 ]
dérivée P ' (x) = 2 - 200/x²
cette dérivée est nulle pour x = 10
tableau :
x --> 1 5 10 20 40 50
var --> décroissante 0 croissante
P(x) --> 202 50 40 50 85 104
■ on peut tracer l' arc d' Hyperbole représentant la fonction P .
■ le carré fait bien partie de la famille des rectangles ! ♥ ☺
■ conclusion :
c' est bien pour un carré de 10 cm de côté
qu' on aura le Périmètre mini de 40 cm !