Resposta:

A) Aqui está uma representação gráfica do triângulo ABC:

scss

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      C (4,5)

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B (1,5)----A (1,1)

B) Para calcular a área do triângulo ABC, podemos usar a fórmula:

área = (base x altura) / 2

Podemos escolher a base do triângulo como sendo o segmento BC e a altura como sendo a distância entre o ponto A e a reta BC. Assim, temos:

Base BC: d = sqrt((4-1)^2 + (5-5)^2) = sqrt(9) = 3

Altura: A distância entre o ponto A e a reta BC é a distância perpendicular entre o ponto A e a reta BC. Podemos usar a fórmula:

distância = |ax + by + c| / sqrt(a^2 + b^2)

Onde a, b e c são os coeficientes da equação geral da reta BC: ax + by + c = 0.

A equação geral da reta BC pode ser encontrada a partir dos pontos B e C. Temos:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (5 - 5) / (4 - 1) = 0

b = y - mx = 5

Equação geral: 0x + 1y - 5 = 0

Substituindo na fórmula, temos:

distância = |1(1) + 1(5) - 5| / sqrt(1^2 + 1^2) = 3 / sqrt(2)

Assim, podemos calcular a área do triângulo:

área = (3 x 3 / sqrt(2)) / 2 = 4.24 u.a. (unidades de área)

Para calcular o perímetro, podemos usar a fórmula:

perímetro = AB + BC + AC

Podemos calcular as distâncias entre os pontos:

AB: dAB = sqrt((1-1)^2 + (5-1)^2) = 4

BC: dBC = sqrt((4-1)^2 + (5-5)^2) = 3

AC: dAC = sqrt((4-1)^2 + (5-1)^2) = sqrt(50)

Assim, o perímetro é:

perímetro = 4 + 3 + sqrt(50) ≈ 14.36 u.c. (unidades de comprimento)

C) Os ângulos do triângulo ABC podem ser encontrados usando as coordenadas dos pontos. Podemos usar a fórmula:

tan(θ) = (yb - ya) / (xb - xa)

Onde θ é o ângulo formado entre o eixo x e o segmento que liga os pontos A e B (ou C), ya e yb são as coordenadas y dos pontos A e B (ou C) e xa e xb são as coordenadas x dos pontos A e B (ou C).

Assim, temos:

Ângulo ABC: tan(θ) = (5-5) / (1-4) = 0 → θ = 0°

Ângulo BAC: tan(θ) = (1-5) / (1-4) = 4/3 → θ ≈ -53.13°

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