Resposta:

Para resolver este problema, podemos utilizar a distribuição exponencial e a sua função de densidade de probabilidade:

f(x) = λe^(-λx)

Onde λ é a taxa de ocorrência de paralisações não-programadas e x é o tempo entre paralisações.

a) Para encontrar a probabilidade de que o tempo entre duas paralisações não-programáveis seja menor do que 14 dias, podemos calcular a integral da função de densidade de probabilidade de 0 a 14:

P(X < 14) = ∫0^14 λe^(-λx) dx

Aplicando a regra da substituição, onde u = -λx e du = -λ dx, temos:

P(X < 14) = ∫∞^0 e^u du/λ

P(X < 14) = [-e^u/λ]∞^0

P(X < 14) = (-e^(-λ*14) + e^0)/λ

P(X < 14) = (1 - e^(-λ*14))/λ

Sabemos que a média aritmética é igual a 20, ou seja, λ = 1/20. Substituindo na equação acima, temos:

P(X < 14) = (1 - e^(-14/20))/1/20

P(X < 14) = 0.3297

Portanto, a probabilidade de que o tempo entre duas paralisações não-programáveis seja menor do que 14 dias é de aproximadamente 0.3297.

b) Da mesma forma, para encontrar a probabilidade de que o tempo entre duas paralisações não-programáveis seja maior do que 21 dias, podemos calcular a integral da função de densidade de probabilidade de 21 até infinito:

P(X > 21) = ∫21^∞ λe^(-λx) dx

Aplicando a regra da substituição, onde u = -λx e du = -λ dx, temos:

P(X > 21) = ∫0^-λ*21 e^u du/λ

P(X > 21) = [-e^u/λ]^0^-λ*21

P(X > 21) = (e^(-λ*21) - e^0)/λ

P(X > 21) = e^(-λ*21)/λ

Substituindo λ = 1/20, temos:

P(X > 21) = e^(-21/20)/1/20

P(X > 21) = 0.2642

Portanto, a probabilidade de que o tempo entre duas paralisações não-programáveis seja maior do que 21 dias é de aproximadamente 0.2642.