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Vamos lá.

Nyx, você colocou muitas questões numa só mensagem. Não sabemos nem se o espaço será suficiente para dar a respostas a tantas questões. Mas vamos tentar pra ver se será possível responder a todas. Veja que, como são muitas questões, então vamos fugir da nossa característica que seria fazer tudo passo a passo. Então vamos fazer de forma bem mais simples sem o nosso já famoso passo a passo. Vamos ver.

1ª questão: veja que juros, no regime de juros simples, são dados assim:

J = C*i*n, em que "J" são os juros (que no caso vai ser igual a R$ 640,00); "C" é o capital emprestado (no caso vai ser igual R$ 8.000,00); "i" é a taxa de juros mensal (que é o que vamos encontrar) e "n" é o tempo (que no caso é igual a 4, pois o capital foi emprestado por 4 meses). Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

640 = 8.000*i*4 ---- como na multiplicação a ordem dos fatores não altera o produto, então poderemos reescrever assim:

640 = 4*8.000*i ------ desenvolvendo, temos:

640 = 32.000i ----- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo:

32.000i = 640 ---- isolando "i", teremos:

i = 640/32.000 -----note que esta divisão dá exatamente "0,02". Logo:

i = 0,02 ou 2% ao mês <--- Esta é a resposta para a 1ª questão.

2ª questão: Veja que a mercadoria que foi adquirida por R$ 200,00 e se é vendida com 35% (ou 0,35) de lucro, então ela teria sido vendida por: 200*1,35 = 270 <---- Este foi o valor da mercadoria já com o lucro embutido. Agora vamos ao percentual de desconto sobre o valor de R$ 270,00 para voltar ao valor original de R$ 200,00. Então deveremos retirar x% (ou x/100) dos R$ 270,00 e igualar ao valor original (R$ 200,00). Assim teremos:

270 - (x/100)*270 = 200 ---- desenvolvendo, temos:

270 - 270x/100 = 200 ------ efetuando a multiplicação em cruz pelo mmc que é 100, teremos:

100*270 - 1*270x = 100*200 ------- desenvolvento, temos:

27.000 - 270x = 20.000 ---- passando "27.000" para o 2º membro, temos:

-270x = 20.000 - 27.000

- 270x = - 7.000 ---- ou apenas (ao multiplicarmos por "-1"):

270x = 7.000

x = 7.000/270 ---- veja que esta divisão dá "25,93" (bem aproximado). Logo:

x = 25,93% <---- Esta é a resposta para a 2ª questão. Ou seja, este é que deveria ser o percentual de desconto em cima dos R$ 270,00 para voltar ao preço original de R$ 200,00.

3ª questão: Veja que montante, em juros compostos, é dado assim:

M = C*(1+i)ⁿ , em que "M" é o montante (no caso é igual a R$ 1.952,19); "C" é o capital aplicado (no caso é igual a R$ 1.540,00); "i" é a taxa de juros ao mês (no caso vai ser 0,007 ao mês, pois 0,7% = 0,7/100 = 0,007); e finalmente "n" é o tempo (que é o que vamos encontrar). Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

1.952,19 = 1.540*(1+0,007)ⁿ ------ desenvolvendo, temos:

1.952,19 = 1.540*(1,007)ⁿ ---- ou, invertendo-se, temos;

1.540*(1,007)ⁿ = 1.952,19 ---- isolando (1,007)ⁿ, teremos:

(1,007)ⁿ = 1.952,19/1.540 ---- note que esta divisão dá "1,268" (bem aproximado). Logo:

(1,007)ⁿ = 1,268 ----- vamos aplicar logaritmo a ambos os membros, ficando:

log(1,007)ⁿ = log(1,268) ----- passando o expoente "n" multiplicando, temos:

n*log(1,007) = log(1,268)

Note que: log(1,007) = 0,0030295 (aproximadamente) e log(1,268) =0,10312 (aproximadamente). Assim, ficaremos com:

n*(0,0030295) = 0,10312 ------ isolando "n", teremos:

n = 0,10312/0,0030295 ---- veja que esta divisão dá "34" (bem aproximado). Logo:

n = 34 meses (aproximadamente) <--- Esta é a resposta em meses. Se quiser dar a resposta em anos, então basta dividir "34" por "12" (pois um ano tem 12 meses). Então:

n = 34/12 ---> n = 2,83 anos <--- Esta seria a resposta em anos. Note que 2,83 anos dá bem aproximado a 34 meses.

4ª questão: Os 3 sócios entraram com os seguintes investimentos:

Sócio A: R$ 4.000,00; sócio B: R$ 6.000,00; sócio C: R$ 8.000,00

Como o lucro foi de R$ 22.500,00 então vamos encontar o quociente de proporcionalidade (QP), que será dado pela divisão do lucro obtido (R$ 22.500,00) pela soma dos investimentos de cada sócio). Assim, teremos:

QP = 22.500/(4.000+6.000+8.000)

QP = 22.500/18.000 ---- note que esta divisão dá exatamente "1,25". Logo:

QP = 1,25 <--- Este é o nosso quociente de proporcionalidade.

Agora é só multiplicar o QP pelo investimento de cada sócio e teremos o valor do lucro que coube a cada sócio. Assim:

Sócio A: 1,25*4.000 = 5.000,00

Sócio B: 1,25*6.000 = 7.500,00

Sócio C: 1,25*8.000 = 10.000,00

TOTAL DO LUCRO = 22.500,00

Assim, cada sócio A, B e C recebeu de lucro, respectivamente:

5.000,00; 7.500,00; e 10.000,00 <--- Esta é a resposta para a 4ª questão. Ou seja,o sócio A recebeu R$ 5.000,00; o sócio B recebeu R$ 7.500,00; e o sócio C recebeu R$ 10.000,00.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.