Resposta:

Explicação passo a passo:

Para resolver esse problema, utilizaremos as identidades trigonométricas para expressar cos(x + y) e cos(x − y)  em termos de cos (x) e cos(y).

Sabemos que cos(x + y) = cos x ⋅ cos y − sen x ⋅ sen  y (fórmula da soma para o cosseno) e cos (x − y) = cos x ⋅ cos y + sen x ⋅ sen y (fórmula da diferença para o cosseno).

Dado que  [tex]cos x = \frac{1}{3}[/tex]  e  [tex]cos y = \frac{1}{4}[/tex], podemos encontrar   sen x e sen y usando a indentidade [tex]sen^{2}x + cos^{2} x = 1[/tex]  e  [tex]sen^{2} y + cos^{2} y = 1[/tex].

Para [tex]cos x = \frac{1}{3}[/tex] temos:

[tex]sen^{2} x = 1 - cos^{2}x = 1 - (\frac{1}{3})^{2} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \\ \\ senx = \sqrt{\frac{8}{9}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}}[/tex]

Para [tex]cos y = \frac{1}{4}[/tex]  temos:

[tex]sen^{2} y = 1 - cos^{2}y = 1 - (\frac{1}{4})^{2} = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} \\ \\ seny = \sqrt{\frac{15}{16}} = \sqrt{\frac{15}{4}}[/tex]

Agora, podemos calcular cos (x + y) e cos (x - y):

[tex]cos (x + y ) = \frac{1}{3} . \frac{1}{4} - (\frac{2\sqrt{2} }{3} ) . (\frac{\sqrt{15} }{4}) \\ \\ \\ cos (x - y ) = \frac{1}{3} . \frac{1}{4} + (\frac{2\sqrt{2} }{3} ) . (\frac{\sqrt{15} }{4})[/tex]

Agora, vamos calcular o produto cos (x + y) . cos (x - y):

[tex](\frac{1}{12} - \frac{\sqrt{30}}{6}) . (\frac{1}{12} + (\frac{\sqrt{30}}{6}) \\ \\ \\ (\frac{1}{12} - \frac{2\sqrt{30}}{12}) . (\frac{1}{12} + (\frac{2\sqrt{30}}{12})\\ \\ \\ (\frac{1 - 2\sqrt{30}}{12}) . (\frac{1 + 2\sqrt{30}}{12})\\ \\ \\ \frac{1^{2} - (2\sqrt{30})^{2} }{144}\\ \\ \\ - \frac{119}{144}[/tex]

Portanto, o produto cos( x + y ) ⋅ cos( x − y)  é igual a:  [tex]- \frac{119}{144}[/tex]  .