20 PONTOS!!!! UNIFEI Se um triangulo equilatero de lado raizde75 esta inscrito num circulo Qual é o .... Pergunta de ideia deF00L

December 2019 1 95 Report

20 PONTOS!!!!

UNIFEI
Se um triangulo equilatero de lado raizde75 esta inscrito num circulo
Qual é o raio?

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BashKnocker O raio é a medida do segmento AC menos o segmento FC da imagem anexo.

O enunciado fala que o triângulo é equilátero, logo seus ângulos internos são iguais a 60⁰.

O ponto F é o baricentro do triângulo circunscrito, então o segmento AC e BF dividem o vértice do triângulo ao meio.

(segmento AC)
O segmento AC pode ser calculado pelo triângulo reto ACB relacionando seus lados com a tangente de 60⁰ do ângulo CBA.
$\tan60^o = \sqrt3\\\\
\tan60^o = \frac{AC}{\frac{\sqrt{75}}{2}}\\\\
\sqrt3 = \frac{AC}{\frac{\sqrt{75}}{2}}\\\\
\sqrt3\times \frac{\sqrt{75}}{2} = AC\\\\
AC = \frac{\sqrt{225}}{2}\\\\
\boxed{AC = \frac{15}{2}}$

(segmento FC)
O segmento FC pode ser calculado pelo triângulo reto FCB relacionando seus lados com a tangente de 30⁰ do ângulo CBF.
$\tan30^o = \frac{1}{\sqrt3}\\\\
\tan30^o = \frac{FC}{\frac{\sqrt{75}}{2}}\\\\
\frac{1}{\sqrt3} = \frac{FC}{\frac{\sqrt{75}}{2}}\\\\
\frac{\sqrt{75}}{2} = FC\times \sqrt3\\\\
FC = \frac{\sqrt{75}}{2}\times\frac{1}{\sqrt{3}}\\\\
FC = \frac{\sqrt{75}}{2\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\\\
FC = \frac{\sqrt{75}\sqrt3}{2\sqrt{3}\sqrt{3}}\\\\
FC = \frac{\sqrt{225}}{6}\\\\
FC = \frac{15}{6}\\\\
\boxed{FC = \frac{5}{2}}$

Subtraindo os segmentos AC - FC temos o raio.
$AC - FC = raio\\\\
AC = \frac{15}{2}\\\\
FC = \frac{5}{2}\\\\
raio=\frac{15}{2}-\frac{5}{2}\\\\
raio=\frac{10}{2}\\\\
\boxed{raio=5}$

Resposta D

ps: um caminho mais curto seria usar a lei dos senos para o triângulo AFB onde:

$\frac{raio}{sen(30^o)} = \frac{\sqrt{75}}{sen(120^o)}\\\\
sen(120^o) = sen(60^o)\\\\
\frac{raio}{sen(30^o)} = \frac{\sqrt{75}}{sen(60^o)}\\\\
\sqrt{75}\times sen(30^o) = raio\times sen(60^o)\\\\
\sqrt{75}\times \frac{1}{2} = raio\times \frac{\sqrt3}{2}\\\\
\sqrt{75} = raio\times \sqrt{3}\\\\
raio = \frac{\sqrt{75}}{\sqrt3}\times \frac{\sqrt3}{\sqrt3}\\\\
raio = \frac{\sqrt{225}}{3}\\\\
raio = \frac{15}{3}\\\\
\boxed{raio = 5}$

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