Na parede da sala de aula de Manolito, que tem 4 m de altura e 6 m de largura, será pintado um pain.... Pergunta de ideia deErlandylopez

May 2020 1 282 Report

Na parede da sala de aula de Manolito, que tem 4 m de altura e 6 m de
largura, será pintado um painel, conforme a figura apresentada. O valor
de x para que a área hachurada seja máxima é
a) 1/4
b) 1/2
c) 1
d) 2
e) 4

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lamacch A área hachurada (que vamos chamar de y) é a diferença entre a área da parede, que é um retângulo, e as áreas dos dois triângulos retângulos brancos. Então:

$y=6.4- \frac{4x.x}{2} - \frac{2.(6-4x)}{2} =24- 2 x^{2} - (6-4x)=24- 2 x^{2} - 6+4x=$ $- 2 x^{2}+4x+18$

Veja que a expressão encontrada para a área hachurada é, na verdade, uma função do 2º grau da forma $y=a x^{2} +bx+c$ .

Neste caso, o valor máximo de y corresponde ao valor da ordenada do vértice da parábola que representa tal função. Como o coeficiente do termo de 2º grau é negativo (a = -2), a parábola tem sua curvatura voltada para baixo e, portanto, a função admite um valor máximo.

O valor da ordenada do vértice da função é calculado pela fórmula: -Δ/4a.

$y_{M} = \frac{-( 4^{2}-4.(-2).18 )}{4.(-2)} = \frac{-( 16+144)}{-8} = \frac{160}{8} =20$ m² ⇒ esse é o valor máximo da área hachurada.

Agora, vamos calcular o valor de x, considerando esse valor de y.

$- 2 x^{2}+4x+18=20$

$- 2 x^{2}+4x-2=0$

$- x^{2}+2x-1=0$

$x^{2}-2x+1=0$

$(x-1)^{2} =0$

$x-1=0$

$x=1$ ⇒ corresponde ao valor de x do vértice. Este valor também poderia ser calculado pela fórmula $\frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2.(-2)} = \frac{-4}{-4} =1$

Resposta: letra c).

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