Hello! J’ai un DM de maths pour lundi et je suis bloquée à la question 2b) Merci d’avance pour toute aide. Pour déterminer des valeurs approchées de racines carées de nombres entiers (√5 dans l’exemple ci- dessous), les Babyloniens (2000 ans av.JC) utilisaient la méthode suivante.
On part d'un nombre simple supérieur à l’irrationnel éradiée, soit par exemple u(0)=-3 et on construit une suite (u(n)) déterminée par la relation de récurrence: U(n+1)=(1/2)*(u(n)+)
Une autre suite (v(n)) est définie pour tout entier naturel n par v(n)= 5/u(n)
I- Etude de la suite (u(n))
1. On considère la fonction numérique f sur ]0,+∞[ par: f(x)= (1/2)*(x+(5/x))
a. Montrer que pour tout réel x strictement positif: f(x)-f(√5)= (x-√5)^2/2x
Ca c’est bon j’ai trouvé: j’ai développé puis réduis et trouvé le bon résultat.
b. En déduire que f admet un minimum sur ]0,+∞[ égal à √5 pour x = √5
Ca aussi c’est bon: j’ai utilisé le discriminant sur la forme développée de (x-√5)^2 pour l’abscisse et f(√5) pour l’ordonnée et ça marche.
c. En déduire que (u(n)) est minorée par √5
J’ai utilisé la logique: f admet un minimum (√5; √5) donc (u(n)) minorée par √5
2a. Montrer que pour tout réel x strictement positif: f(x)-x=(5-x)^2/2x
De meme que 1a), développer puis réduire.
b. En déduire que pour tout réel x supérieur ou égal à √5, on a: f(x) inférieur ou égal à x
Et c’est la que je suis bloquée.
c. En déduire que (u(n)) est décroissante
II- Etude de la suite (v(n))
En utilisant les résultats démontrés en I, démontrer que (v(n)) est majorée par √5 et que (v(n)) est croissante.
III- Conclusion
Expliquer comment à l' aide des suites (u(n)) et (v(n)) précédentes obtenir des encadrements de √5.
Donc voilà merci d’avance pour toute aide!
On part d'un nombre simple supérieur à l’irrationnel éradiée, soit par exemple u(0)=-3 et on construit une suite (u(n)) déterminée par la relation de récurrence: U(n+1)=(1/2)*(u(n)+)
Une autre suite (v(n)) est définie pour tout entier naturel n par v(n)= 5/u(n)
I- Etude de la suite (u(n))
1. On considère la fonction numérique f sur ]0,+∞[ par: f(x)= (1/2)*(x+(5/x))
a. Montrer que pour tout réel x strictement positif: f(x)-f(√5)= (x-√5)^2/2x
Ca c’est bon j’ai trouvé: j’ai développé puis réduis et trouvé le bon résultat.
b. En déduire que f admet un minimum sur ]0,+∞[ égal à √5 pour x = √5
Ca aussi c’est bon: j’ai utilisé le discriminant sur la forme développée de (x-√5)^2 pour l’abscisse et f(√5) pour l’ordonnée et ça marche.
c. En déduire que (u(n)) est minorée par √5
J’ai utilisé la logique: f admet un minimum (√5; √5) donc (u(n)) minorée par √5
2a. Montrer que pour tout réel x strictement positif: f(x)-x=(5-x)^2/2x
De meme que 1a), développer puis réduire.
b. En déduire que pour tout réel x supérieur ou égal à √5, on a: f(x) inférieur ou égal à x
Et c’est la que je suis bloquée.
c. En déduire que (u(n)) est décroissante
II- Etude de la suite (v(n))
En utilisant les résultats démontrés en I, démontrer que (v(n)) est majorée par √5 et que (v(n)) est croissante.
III- Conclusion
Expliquer comment à l' aide des suites (u(n)) et (v(n)) précédentes obtenir des encadrements de √5.
Donc voilà merci d’avance pour toute aide!
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