Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre plusieurs cibles.
La probabilité que la première cible soit atteinte est 1/2.
Lorsqu'une cible est atteinte, la probabilité que la suivante le soit est de 3/4.
Lorsqu'une cible n'est pas atteinte, la probabilité que la suivante soit atteinte est de 1/2.
On note, pour tout n *:
A n, l'évènement "la n ème cible est atteinte"
a n la probabilité de l'évènement A n
b n la probabilité de l'évènement A n (le tout barre)
1)a) Montrer que, pour tout n*: a n+1 = 3/4 a n +1/2 b n
b) En déduire que, pour tout n *: a n+1 = 1/4 a n +1/2 a) p(A n+1) = (a n x 0.75) + (b x 0.5)a n+1 = 0.75a n + 0.5b nb) 0.75a n +0.5b n = 0.75a n +0.5 (1 - a n) = 0.25a n +0.5 3)a) Démontrer que la suite (a n) est majorée par 2/3.
b) Démontrer que la suite (a n) est croissante.
c) Que peut-on en déduire ?
La probabilité que la première cible soit atteinte est 1/2.
Lorsqu'une cible est atteinte, la probabilité que la suivante le soit est de 3/4.
Lorsqu'une cible n'est pas atteinte, la probabilité que la suivante soit atteinte est de 1/2.
On note, pour tout n *:
A n, l'évènement "la n ème cible est atteinte"
a n la probabilité de l'évènement A n
b n la probabilité de l'évènement A n (le tout barre)
1)a) Montrer que, pour tout n*: a n+1 = 3/4 a n +1/2 b n
b) En déduire que, pour tout n *: a n+1 = 1/4 a n +1/2 a) p(A n+1) = (a n x 0.75) + (b x 0.5)a n+1 = 0.75a n + 0.5b nb) 0.75a n +0.5b n = 0.75a n +0.5 (1 - a n) = 0.25a n +0.5 3)a) Démontrer que la suite (a n) est majorée par 2/3.
b) Démontrer que la suite (a n) est croissante.
c) Que peut-on en déduire ?
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L’évènement A(n+1) est formé de la réunion des événements « la n+1ième a été atteinte alors que la précédente a été atteinte » et « « la n+1ième a été atteinte alors que la précédente n'a pas été atteinte »La probabilité du premier événement est an*3/4, celle du deuxième est bn*1/2 La probabilité de la réunion est donc 3/4 *an + 1/2 bn= a(n+1)
Or Bn est l’événement contraire de An , donc bn=1-an donc a(n+1)= 1/4 *an +1/2
2) On peut démontrer la majoration par récurrence :
initialisation : a1= 1/2<2/3
hérédité
supposons an<2/3
1/4 an <1/4*2/3
1/4 an + 1/2 <1/4*2/3 +1/2 = 2/3
donc a(n+1)<2/3
La suite est donc majorée par 2/3
croissance
a(n+1)-an= 0,5-0,5an an<1 donc 0,5an<0,5 donc 0,5-0,5an>0
donc la suite est croissante.
La suite est croissante et majorée, elle est donc convergente.