Bonjour,

pour k entier non nul

[tex]\dfrac1{k(k+1)(k+2)}=\dfrac1{2}\cdot \left( \dfrac1{k+2}-\dfrac1{k+1}+\dfrac1{k}-\dfrac1{k+1} \right)[/tex]

En effet, une méthode naive de la faire est de trouver a, b et c tels que

[tex]\dfrac1{k(k+1)(k+2)}=\dfrac{a}{k}+\dfrac{b}{k+1}+\dfrac{c}{k+2}[/tex]

on développe et on identifie pour trouver a, b et c

Du coup, maintenant c'est une somme télescopique

[tex]\displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac1{k(k+1)(k+2)}=\dfrac1{2}\cdot \sum_{k=1}^n\left( \dfrac1{k+2}-\dfrac1{k+1}\right) +\dfrac1{2}\cdot \sum_{k=1}^n \left(\dfrac1{k}-\dfrac1{k+1} \right)\\\\=\dfrac{1}{2}\cdot \left(\dfrac1{n+2}-\dfrac1{2}+1-\dfrac1{n+1} \right)\\\\=\dfrac{2n+2+(n+1)(n+2)-2n-4}{4(n+1)(n+2)}\\\\=\dfrac{n^2+3n}{4(n+1)(n+2)}\\\\=\dfrac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}\\[/tex]

Merci

Réponse:

Bonjour

Explications étape par étape:

cette correction vous a t'elle été utile ?