A função custo relaciona-se aos gastos de uma loja, uma empresa ou uma indústria, seja na produção ou na compra de um produto. A função custo (C(x)) pode ser representada a partir do custo fixo (Cv) e do custo variável (Cv), por meio da seguinte fórmula:
C(x) = Cf + Cv
A função receita (R(x)) está ligada ao faturamento bruto, a depender do número de vendas de produtos, expressa por meio da seguinte fórmula:
R(x) = p * X
Em que p é o preço de mercado e x é a quantidade de produtos vendidos.
Por fim, a função lucro (L(x)) diz respeito ao lucro líquido da empresa, sendo obtido a partir da diferença da função receita e da função custo:
L(x) = R(x) - C(x)
ETAPA 1
Em uma fábrica de peças automotivas, há um custo fixo mensal de R$ 450,00, incluindo impostos, salário de funcionários, conta de água, de luz e entre outros. E, também há um custo variável que depende da quantidade de peças A produzidas, de R$ 42,00. Considerando o valor de mercado de cada peça A de R$ 95,00, então:
a) Encontre a função custo (C(x)).
b) Encontre a função receita (R(x)).
c) Encontre a função lucro (L(x)).
ETAPA 2
A função custo mensal de fabricação de uma peça B na fábrica é de C(x) = 2x3 - 8x2 + 98x -1, cujo preço de venda é de p = 100. Sabendo disso:
a) Encontre a função lucro.
b) Utilize o teste da segunda derivada para determinar a quantidade de peças B que devem ser produzidas e vendidas mensalmente, para que se obtenha o lucro máximo.
c)Utilizando o software Geogebra, trace o gráfico da função lucro, e localize o ponto máximo.
ETAPA 3
O administrador da fábrica deseja comprar um equipamento capaz de resultar em uma economia de custos operacionais. Tal economia é dada pela função f(x) unidades monetárias por ano, quando o equipamento estiver x anos em uso: f(x) = 1000x + 250. Utilizando uma integral definida, determine:
a) A economia de custos operacionais que a compra do equipamento irá resultar nos 3 primeiros anos.
b) Após quantos anos o equipamento estará pago, se o mesmo custa R$ 42.750,00?
C(x) = Cf + Cv
A função receita (R(x)) está ligada ao faturamento bruto, a depender do número de vendas de produtos, expressa por meio da seguinte fórmula:
R(x) = p * X
Em que p é o preço de mercado e x é a quantidade de produtos vendidos.
Por fim, a função lucro (L(x)) diz respeito ao lucro líquido da empresa, sendo obtido a partir da diferença da função receita e da função custo:
L(x) = R(x) - C(x)
ETAPA 1
Em uma fábrica de peças automotivas, há um custo fixo mensal de R$ 450,00, incluindo impostos, salário de funcionários, conta de água, de luz e entre outros. E, também há um custo variável que depende da quantidade de peças A produzidas, de R$ 42,00. Considerando o valor de mercado de cada peça A de R$ 95,00, então:
a) Encontre a função custo (C(x)).
b) Encontre a função receita (R(x)).
c) Encontre a função lucro (L(x)).
ETAPA 2
A função custo mensal de fabricação de uma peça B na fábrica é de C(x) = 2x3 - 8x2 + 98x -1, cujo preço de venda é de p = 100. Sabendo disso:
a) Encontre a função lucro.
b) Utilize o teste da segunda derivada para determinar a quantidade de peças B que devem ser produzidas e vendidas mensalmente, para que se obtenha o lucro máximo.
c)Utilizando o software Geogebra, trace o gráfico da função lucro, e localize o ponto máximo.
ETAPA 3
O administrador da fábrica deseja comprar um equipamento capaz de resultar em uma economia de custos operacionais. Tal economia é dada pela função f(x) unidades monetárias por ano, quando o equipamento estiver x anos em uso: f(x) = 1000x + 250. Utilizando uma integral definida, determine:
a) A economia de custos operacionais que a compra do equipamento irá resultar nos 3 primeiros anos.
b) Após quantos anos o equipamento estará pago, se o mesmo custa R$ 42.750,00?
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Lista de comentários
Pelos conceitos de função e do cálculo diferencial e integral temos as seguintes soluções:
1a) [tex]C(x)=42x+450[/tex];
1b) [tex]R(x)=95x[/tex];
1c) [tex]L(x)=53x-450[/tex];
2a) [tex]L(x)=-2x^3+8x^2+2x+1[/tex];
2b) [tex]L''(x)=-12x+16\Rightarrow L''(2,79)=-17,48 < 0\Rightarrow maximo[/tex];
2c) Na figura abaixo;
3a) Economia de R$ 5250 em três anos;
3b) O equipamento será pago após 9 anos.
Cálculo Diferencial e Integral
Para responder a estas questões vamos aplicar conceitos de derivada, integral e máximos e mínimos.
a) A função custo será dada por:
[tex]C(x)=42x+450[/tex]
b) A função receita será definida por:
[tex]R(x)=95x[/tex]
c) Por fim, a função lucro será:
[tex]L(x)=R(x)-C(x)\\\\L(x)=95x-42x-450\\\\L(x)=53x-450[/tex]
a) A função lucro é definida por:
[tex]L(x)=R(x)-C(x)\\\\L(x)=100x-2x^3+8x^2-98x+1\\\\L(x)=-2x^3+8x^2+2x+1[/tex]
b) Derivando a função L(x) obtemos os valores de máximo e/ou mínimo quando esta derivada for nula.
[tex]L(x)=-2x^3+8x^2+2x+1\\\\L'(x)=-6x^2+16x+2[/tex]
Cujos pontos críticos são, aproximadamente:
[tex]x'=-0,12 \ e \ x''=2,79[/tex]
Calculando a segunda derivada e substituindo os valores de x' e x'' no teste da derivada segunda, obtemos:
[tex]L''(x)=-12x+16\\\\L''(-0,12)=17,44 > 0\Rightarrow minimo\\\\L''(2,79)=-17,48 < 0\Rightarrow maximo[/tex]
c) O gráfico encontra-se na figura abaixo.
[tex]$\int_a^b 1000x+250 \ dx[/tex]
a) Aplicaremos a integral definida para os seguintes limites de integração 0 ≤ x ≤ 3.
[tex]$\int_0^3 1000x +250 \ dx=500x^2+250x\Bigg|_0^3[/tex]
[tex]=500\cdot 3^2+250\cdot 3\\\\=4500+750\\\\=5250[/tex]
b) Para que o equipamento esteja totalmente pago deveremos ter:
[tex]500x^2+250x=42750\\\\500x^2+25x-42750=0\Rightarrow x'\approx -9,3 \ e \ x''\approx 9,2[/tex]
Mantendo a economia proposta, em 9 anos o equipamento estará pago.
Para saber mais sobre Cálculo Diferencial e Integral acesse:
https://brainly.com.br/tarefa/52440580
https://brainly.com.br/tarefa/51802052
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