Veja, Gustavo, que a resolução é simples, embora um pouquinho trabalhosa. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento. São pedidos os valores de "a' e "b" sabendo-se que:
i) A sequência (a; b; 18) é uma PA e a sequência (50; b; a) é uma PG.
ii) Veja que a razão de uma PA é constante e é encontrada com a subtração de cada termo antecedente do seu respectivo consequente. Logo, para a PA teremos:
18 - b = b - a ---- passando "-b" para o 2º membro, teremos: 18 = b - a + b --- reduzindo os termos semelhantes, teremos: 18 = 2b - a -- ou, invertendo-se: 2b - a = 18 - a = 18 - 2b --- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos: a = 2b - 18 . (I)
iii) Por sua vez, a razão de uma PG é encontrada pela divisão de cada termo consequente pelo seu respectivo antecedente. Então para a PG, teremos que:
a/b = b/50 --- multiplicando-se em cruz, teremos: 50a = b² ----- isolando "a", teremos: a = b²/50 . (II)
iv) Mas conforme a expressão (I), temos que "a = 2b-18". Então vamos substituir "a" por esse valor na expressão (II) acima. Vamos apenas repetir a expressão (II), que é esta:
a = b²/50 ---- substituindo-se "a" por "2b-18", teremos: 2b-18 = b²/50 --- multiplicando-se em cruz, teremos: 50*(2b-18) = b² --- efetuando este produto, teremos; 100b - 900 = b² ---- passando todo 1º membro para o 2º, teremos: 0 = b² - 100b + 900 ----- ou, invertendo-se, teremos: b² -100b + 900 = 0 --- note que se você aplicar Bháskara, teremos as duas seguintes raízes:
b' = 10 b'' = 90
v) Agora vamos procurar o valor de "a". Para isso , vamos na expressão (I), que é esta:
a = 2b - 18
v.1) Para b = 10, teremos:
a = 2*10 - 18 a = 20 - 18 a = 2 <--- Este será o valor de "a", se b = 10
v.2) Para b = 90, teremos:
a = 2*90 - 18 a = 180 - 18 a = 162 <--- Este será o valor de "a", se b = 90.
vi) Agora vamos testar os valores de "a" e de "b" em cada uma das progressões:
vi.1) Para a = 2 e b = 10, teremos a PA (a; b; 18):
(2; 10; 18) <--- Perfeito. Forma uma PA crescente de razão (r) igual a "8".
vi.2) Para a 2 e b = 10, teremos a PG (50; b; a):
(50; 10; 2) <--- Perfeito. Forma uma PG decrescente de razão (q) igual a "1/5".
vi.3) Para a = 162 e b = 90 teremos na PA (a; b; 18):
(162; 90, 18) <--- Perfeito. Temos uma PA decrescente de razão (r) igual a "-72".
vi.4) Para a = 162 e b = 90, teremos para a PG (50; b; a):
(50; 90; 162) <--- Perfeito. Temos uma PG crescente de razão (q) igual a 1,8.
vii) Como no enunciado da questão não há nenhuma observação se tanto a PA como a PG terão que ser crescentes ou decrescentes. então os valores de "a' e "b" poderão ser os seguintes:
a = 2; e b = 10. ou a = 162; e b = 90.
Em ambas s hipóteses acima, as sequências serão uma PA e uma PG.
É isso aí. Deu pra entender bem?
OK? Adjemir.
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camponesa
Nada á agradecer Adjemir, suas respostas são perfeitas, e estou á disposição sempre.
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Vamos lá.Veja, Gustavo, que a resolução é simples, embora um pouquinho trabalhosa.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
São pedidos os valores de "a' e "b" sabendo-se que:
i) A sequência (a; b; 18) é uma PA e a sequência (50; b; a) é uma PG.
ii) Veja que a razão de uma PA é constante e é encontrada com a subtração de cada termo antecedente do seu respectivo consequente. Logo, para a PA teremos:
18 - b = b - a ---- passando "-b" para o 2º membro, teremos:
18 = b - a + b --- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
18 = 2b - a -- ou, invertendo-se:
2b - a = 18
- a = 18 - 2b --- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
a = 2b - 18 . (I)
iii) Por sua vez, a razão de uma PG é encontrada pela divisão de cada termo consequente pelo seu respectivo antecedente. Então para a PG, teremos que:
a/b = b/50 --- multiplicando-se em cruz, teremos:
50a = b² ----- isolando "a", teremos:
a = b²/50 . (II)
iv) Mas conforme a expressão (I), temos que "a = 2b-18".
Então vamos substituir "a" por esse valor na expressão (II) acima.
Vamos apenas repetir a expressão (II), que é esta:
a = b²/50 ---- substituindo-se "a" por "2b-18", teremos:
2b-18 = b²/50 --- multiplicando-se em cruz, teremos:
50*(2b-18) = b² --- efetuando este produto, teremos;
100b - 900 = b² ---- passando todo 1º membro para o 2º, teremos:
0 = b² - 100b + 900 ----- ou, invertendo-se, teremos:
b² -100b + 900 = 0 --- note que se você aplicar Bháskara, teremos as duas seguintes raízes:
b' = 10
b'' = 90
v) Agora vamos procurar o valor de "a". Para isso , vamos na expressão (I), que é esta:
a = 2b - 18
v.1) Para b = 10, teremos:
a = 2*10 - 18
a = 20 - 18
a = 2 <--- Este será o valor de "a", se b = 10
v.2) Para b = 90, teremos:
a = 2*90 - 18
a = 180 - 18
a = 162 <--- Este será o valor de "a", se b = 90.
vi) Agora vamos testar os valores de "a" e de "b" em cada uma das progressões:
vi.1) Para a = 2 e b = 10, teremos a PA (a; b; 18):
(2; 10; 18) <--- Perfeito. Forma uma PA crescente de razão (r) igual a "8".
vi.2) Para a 2 e b = 10, teremos a PG (50; b; a):
(50; 10; 2) <--- Perfeito. Forma uma PG decrescente de razão (q) igual a "1/5".
vi.3) Para a = 162 e b = 90 teremos na PA (a; b; 18):
(162; 90, 18) <--- Perfeito. Temos uma PA decrescente de razão (r) igual a "-72".
vi.4) Para a = 162 e b = 90, teremos para a PG (50; b; a):
(50; 90; 162) <--- Perfeito. Temos uma PG crescente de razão (q) igual a 1,8.
vii) Como no enunciado da questão não há nenhuma observação se tanto a PA como a PG terão que ser crescentes ou decrescentes. então os valores de "a' e "b" poderão ser os seguintes:
a = 2; e b = 10.
ou
a = 162; e b = 90.
Em ambas s hipóteses acima, as sequências serão uma PA e uma PG.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.