✅ A família de antiderivadas de f é

[tex] \large\begin{array}{lr}\rm \: \: e \: \green{\!\!\!\!\!\diagdown\!\!\!\!\! \diagup} )\: F(x) = e^x + \sin(x) - \dfrac{3}{2}x^2 + \mathbb{C} \end{array} [/tex]

☁️ Definição de primitiva: A função [tex] \rm F [/tex] é uma primitiva de uma outra função [tex] \rm f [/tex] em um intervalo [tex] \rm [a, b] [/tex] da reta, se em todo ponto [tex] \rm \dot F(x) = f(x) [/tex].

✍️ Solução: Primitivar é responder a seguinte pergunta: “dada a função [tex] \rm f(x) [/tex], qual a função [tex] \rm F(x) [/tex], tal que a derivada de [tex] \rm F(x) [/tex] seja igual a [tex] \rm f(x) [/tex]”.

Quando se trata de funções elementares simples como polinômios, senos, cossenos, exponenciais, logaritmos naturais, e entre outros, o processo é imediato. Veja

[tex] \large\begin{array}{lr}\rm f(x) = e^x + \cos(x) -3(x) = p(x) + q(x) + r(x) \\\\\rm \bullet~p(x) = e^x \Rightarrow P(x) = e^x + \mathbb{C}_1 \because \dot P(x) = p(x) = e^x \\\\\rm\bullet~q(x) = \cos(x) \Rightarrow Q(x) = \sin(x) + \mathbb{C}_2 \because \dot Q(x) = q(x) = \cos(x) \\\\\rm \bullet~r(x) = -3x \Rightarrow R(x) = - \dfrac{3}{2}x^2 \because \dot R(x) = r(x) = -3x \\\\\red{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\:F(x) = e^x + \sin(x) - \dfrac{3}{2}x^2 + mathbb{C} }}}}\end{array} [/tex]

✔️ Nota: [tex] \mathbb{C} = \mathbb{C}_1 + \mathbb{C}_2 + \mathbb{C}_3 [/tex], pois tudo é constante. Utilizamos a constante apenas para exprimir que a primitiva é uma família de funções transladadas [tex] \rm \mathbb{C} [/tex] unidades ao longo do eixo Oy. Afinal movimentar o gráfico da primitiva para cima ou para baixo não irá alterar a inclinação da reta tangente em um ponto [tex] \rm x_0 [/tex] de [tex] \rm [a,b] [/tex] que é um segmento contido no domínio de definição.

⚓️️️️ Seção de links para complementar o estudo sobre cálculo, primitivas, derivadas:

• brainly.com.br/tarefa/48478843

[tex]\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}[/tex]