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Vamos lá.

Veja, Timmy, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se que André tomou emprestado de um banco uma quantia de R$ 15.000,00 a uma taxa de juros compostos de 12% ao mês. Em quantos meses, aproximadamente, os juros serão iguais ao valor do empréstimo. Foi recomendado que se utilize, se precisar, que log₁ˏ₁₂ (2) = 6,12.

ii) Veja que juros, no regime de juros compostos, são dados assim:

J = C*[(1+i)ⁿ - 1] , em que "J" são os juros, "C" é o capital, "i" é a taxa de juros e "n" é o tempo.

Observe que já dispomos dos seguintes dados para substituir na fórmula dos juros acima:

J = 15.000 ---- (note que se pede o valor dos juros igual ao capital tomado).

C = 15.000

i = 0,12 ao mês ----- (note que 12% = 12/100 = 0,12)

n = n ---- (é o que vamos encontrar).

Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

15.000 = 15.000*(1+0,12)ⁿ - 1] ----- simplificando-se ambos os membros por "15.000", iremos ficar apenas com:

1 = 1*(1,12)ⁿ - 1] ----- ou apenas:

1 = (1,12)ⁿ - 1 ------ passando "-1" para o 1º membro, teremos:

1 + 1 = (1,12)ⁿ ----- desenvolvendo, temos:

2 = (1,12)ⁿ ----- vamos apenas inverter, o que dá no mesmo, ficando:

(1,12)ⁿ = 2 ------ agora vamos aplicar logaritmo (na base "1,12") como recomendado. Fazendo isso, teremos:

log₁ˏ₁₂ (1,12)ⁿ = log₁ˏ₁₂ (2) ----- passando o expoente "n" multiplicando o respectivo log , teremos:

n*log₁ˏ₁₂ (1,12) = log₁ˏ₁₂ (2) .

Agora note que log₁ˏ₁₂ (1,12) = 1 (pois sempre que o logaritmando é igual à base o logaritmo sempre é igual a "1") e log₁ˏ₁₂ (2) = 6,12 , conforme já foi dado no enunciado da questão. Assim, fazendo essas substituições, teremos:

n*1 = 6,12 ----- ou, o que é a mesma coisa:

n = 6,12 meses <----- Esta é a resposta. Ou seja, o capital tomado emprestado de R$ 15.000,00, a uma taxa de 12% ao mês no regime de juros compostos, renderá juros iguais ao próprio capital (R$ 15.000,00) em "6,12" meses. Mas como está sendo pedida a quantidade aproximada de meses, então poderemos "arredondar" os "6,12" meses encontrados para apenas "6" meses.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.

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Resposta:

Explicação passo-a-passo:

C = 15 000

j = C  = 15 000

i = 12%  a m = 12/100  = 0,12

M = 15 000  + 15 000 = 30 000

M = C ( 1 + i)^t

30 000 = 15 000 ( 1 + 0,12 )^t

1,12^t  = 30000/15000

1,12^t =  2

t * log 1,12  = log 2

t * 0,049218  = 0,301029

t = 0,301029/0,049218

t = 6,11  ou  6 m ***** resposta