Após analisar as afirmações a seguir sobre produtos notáveis a fatoração marque com(V) oque for verdadeiro e, com (F),oque for falso. (3a²-2b)²=9a⁴-12a²b+²( ). (a-b)³=a³-b³ ( ) 64a²-49b²=(8a-7b)(8a+7b)( ). 4a²-16b²=(2a-4b)² ( ). a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)( )
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Usando os desenvolvimentos de diferentes produtos notáveis, obtém-se:
a) F b) F c) V d) F e) V
Fazendo o desenvolvimento dos produtos notáveis obter-se-á a determinação de igualdade verdadeira ou não
a)
( F )
[tex](3a^2-2b)^2=9a^4-12^2b+^2~[/tex]
Na parte final apenas está " elevado ao quadrado ", partindo do princípio de que não é um erro de impressão, pode tornar falsa esta igualdade
[tex](3a^2-2b)^2=(3a^2)^2-2\cdot 3a^2\cdot 2b+(2b)^2\\\\(3a^2-2b)^2=3^2\cdot(a^2)^2-12a^2b+2^2b^2\\~\\(3a^2-2b)^2=9a^4-12a^2b+4b^2[/tex]
Aqui é um Quadrado de uma Diferença, cujo desenvolvimento é :
menos
mais
Nota 1 → Quadrado de um produto
Quando se tem esta operação tem que se elevar ambos os fatores ao quadrado.
Exemplo:
[tex](3a^2)^2=(3^{1}\cdot a^2)^2=3^{(1\cdot2)}\cdot a^{(2\cdot2)}=3^2 \cdot a^4=9a^4[/tex]
b)
( F )
[tex](a-b)^3=a^3-b^3\\~\\(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3[/tex]
Esta é a regra direta para " o Cubo de uma Diferença", logo falso o que aqui está.
c)
( V )
[tex]64a^2-49b^2=8^2a^2-7^2b^2=(8a)^2-(7b)^2=(8a-7b) \cdot(8a+7b)[/tex]
Nota 2 → Produto da diferença pela soma
Exemplo:
[tex](a-b)\cdot (a+b)=a^2-b^2[/tex]
Mas é preciso saber que se se partir do fim para o início também se verifica ser correto
[tex](a^2-b^2) = (a-b)\cdot (a+b)[/tex]
d)
( F )
[tex]4a^2-16b^2[/tex]
Como se viu mesmo agora na alínea c)
[tex]4a^2-16b^2=2^2a^2-4^2b^2=(2a)^2-(4b)^2= (2a-4b)\cdot (2a+4b)[/tex]
e)
( V )
[tex]a^3+b^3=(a+b) \cdot (a^2-ab+b^2)[/tex]
Para verificar a verdade ou não desta afirmação, vai-se usar a propriedade distributiva da multiplicação , na expressão do segundo membro.
[tex](a+b) \cdot (a^2-ab+b^2)\\~\\= a\cdot a^2-a\cdot a b+a\cdot b^2+b\cdot a^2-b\cdot ab+b\cdot b^2\\~\\=a^{(1+2)}-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^{(1+2)}\\~\\=a^3-a^2b+a^2b+ab^2-ab^2+b^3\\~\\=a^3+0+0+b^3\\~\\=a^3+b^3[/tex]
Nota 3 → Nesta última alínea fui colocando monômios semelhantes lado a lado para se ver bem que são simétricos ( opostos)
Sua soma dá zero.
Exemplo aqui:
[tex]-a^2b+a^2b=0[/tex] e [tex]+ab^2-ab^2=0[/tex]
Nota 4 → Monômios semelhantes são aqueles que têm a mesma parte literal [tex]a^2b[/tex]
[tex]-a^2b+a^2b=-1\cdot a^2b+1\cdot a^2b[/tex]
→ parte literal [tex]a^2b[/tex]
→ coeficientes [tex]-1[/tex] e [tex]+1[/tex]
Nota 5 → Coeficientes "escondidos"
Repare-se que [tex]a^2b[/tex] parece não ter nenhum coeficiente.
Mas tem e é " [tex]+1[/tex] "
Os matemáticos decidiram que não é preciso ser colocado. Simplifica a
escrita simbólica.
Mas tem que se lembrar que eles estão lá, quando for necessário os
utilizar em algum cálculo.
Nota 6 → Expoentes escondidos
Algo semelhante se passa com os expoentes.
Ter a expressão " [tex]3x[/tex] " aparentemente não tem nenhum expoente.
Mas tem:
[tex]3^1\cdot x^1[/tex]
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Bons estudos.
Att Duarte Morgado
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[tex](\cdot)[/tex] multiplicação
Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.
O que eu sei, eu ensino.