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Un pétrolier a fait naufrage en haute mer. Le pétrole de sa cargaison s'échappe avec un débit constant, il forme à la surface de la mer, une nappe circulaire dont l'aire s'accroit à vitesse constante égale à 250 000 m².h-1 La nappe a parcouru la moitié de la distance qui sépare le navire de la côte en une journée. On note r(t) le rayon de la nappe et A(t) son aire en fonction du temps t, exprimé en jours.
1/ Exprimer A(t) et r(t) en fonction de t.
2/ Au baut de combien de temps la nappe de prétrole atteindra t-elle la côte. Quelle sera alors la vitesse ?
Je remercie par avance tous celles et ceux qui m'aideront
Un pétrolier a fait naufrage en haute mer. Le pétrole de sa cargaison s'échappe avec un débit constant, il forme à la surface de la mer, une nappe circulaire dont l'aire s'accroit à vitesse constante égale à 250 000 m².h-1 La nappe a parcouru la moitié de la distance qui sépare le navire de la côte en une journée. On note r(t) le rayon de la nappe et A(t) son aire en fonction du temps t, exprimé en jours.
1/ Exprimer A(t) et r(t) en fonction de t.
2/ Au baut de combien de temps la nappe de prétrole atteindra t-elle la côte. Quelle sera alors la vitesse ?
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Vitesse d'accroissement de l'aire = dérivée de l'aire = 250000 m/h
A'(t) = 250 000 m/h
A(t) = 250 000 t + Constante (par primitivation)
Si t = 0 au moment du naufrage, A(0) = 0 et A(t) = 250 000 t
A(t) = pi . R²(t)
R²(t) = 250 000 t / pi
R(t) = racine carrée de ( 250 000 t / pi ) = 282,0947918 racine carrée de ( t )
Soit d la distance entre la côte et le lieu de naufrage :
si t = 24 heures (1 jour) le rayon de la nappe est égal à la moitié de la distance :
R(24) = d / 2 = 282,0947918 . racine( 24 ) = 1381,976598
d = 2 . 1381,976598 = 2763,953196 m = 2,763... km
lors de l'arrivée de la nappe sur la côte, R(t) = d
R(t) = 282,0947918 . racine( t ) = 2763,953196
racine( t ) = 9,79795897
t = ( 9,79795897 )² = 95,99999998 = 96 heures = 4 jours
La vitesse de progression linéaire de la nappe sera alors :
R'(96) = 282,0947918 . 1 / 2 racine( t=96 ) = 14,39558956 m / h