On considère les deux nombres réels suivants:
a=5√2-7 et b =7-4√3
1) Rendre rationnel le dénominateur des nombres 1 /b et 1/b
2) Comparer 1/a et 1/b
3) Déduire la comparaison des deux nombres a et b
a=5√2-7 et b =7-4√3
1) Rendre rationnel le dénominateur des nombres 1 /b et 1/b
2) Comparer 1/a et 1/b
3) Déduire la comparaison des deux nombres a et b
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Réponse:
1) Rendre rationnel le dénominateur de 1/a et 1/b revient à utiliser l'expression conjuguée de a et b.
Ainsi on a : (5√2-7)(5√2+7) = 50-49 = 1 €N
(7-4√3)(7+4√3)= 49-48= 1€N
2) Faisons la différence de 1/a et 1/b.
1/5√2-7 -1/7-4√3 . En rendant au même dénominateur on obtient 7-4√3 -5√2-7 / (5√2-7)(7-4√3) or 7-4√3 -5√2 -7 < 0 et (5√2-7)(7-4√3) > 0 donc 1/a -1/b < 0 donc 1/a< 1/b .
3) D'après la réponse précédente 1/a < 1/b donc a< b d'où 5√2-7< 7-4√3.