Réponse :

Bonsoir, f(x)=(x²-3)/e^x sur R

Explications étape par étape

1) étude de f(x) sur R

a) Limites

x tend vers-oo, x²-3 tend vers+oo et e^x tend vers 0+ donc f(x) tend vers+oo

si x tend vers+oo, x²-3 tend vers +oo et e^x tend vers +oo  (FI) mais la fonction e^x croît beaucoup plus vite que la fonction x² par les crioissances comparées  la fonction f(x) tend vers 0+

b) Dérivée

f'(x)=[2x*e^x-e^x(x²-3)]/e^2x=e^x(-x²+2x+3=/e^2x

cette dérivée s'annule si   -x²+2x+3=0 solutions x=-1 et x=3

c) Tableau de signes de la dérivée et de variations de la fonction

x    -oo                       -1                                        3                             +oo

f'(x)...........-......................0.................+........................0...................-.................

f(x)+oo......décroi........f(-1)...........croi.......................f(3).............décroi..........0+

f(-1)=(1-3)/e^-1=-2e   et f(3)=(9-3)/e³=6/e³

2) Tangente au point x=0

on appliqiue la formule

y=f'(0)(x-0)+f(0)=3x-3

3) Il te reste à tracer la courbe

A priori le point de tangence (0;-3)  est un point d'inflexion la courbure change de sens . Alors ne sois pas surpris si la tangente coupe la courbe. Il faudrait le vérifier avec la dérivée seconde f"(x)