Bonjour, Ce cours vous est proposé par l'équipe de Brainly\NosDevoirs Matière : Mathématiques Niveau.... Pergunta de ideia deBlackBeard

Micka44

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Bonjour :)

Ce cours consistera à définir le critère de dérivabilité qui permet de justifier la dérivabilité d'une fonction à l'aide du taux d'accroissement. Pour illustrer cette application, nous étudierons l'exemple de la fonction f(x) = x². Pour terminer, nous rappellerons les fonctions dérivées usuelles vues au programme de première.

Introduction à la dérivation

En posant I, un intervalle non vide de $\mathbb R$ .

Définition : Soit f : I $\rightarrow \mathbb R$ une fonction, et $x_0 \in \mathbb R$ . On dit que f est dérivable en $x_0$ si :

$\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \ \ \ existe,\ et \ est \ finie$

Exemple : On définit la fonction f(x) = x² pour tout réel x. Démontrons que f est dérivable sur ] $-\infty$ ; $+\infty$ [ et $\forall \ \ x \in \mathbb R$ f'(x) = 2x

$Soit \ x_0 \in \mathbb R\\\\ \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(x_0+h)^{2}-x_0^{2}}{h}\\\\\Leftrightarrow \lim_{h \to 0} \frac{x_0^{2} + 2x_0h + h^{2} - x_0^{2}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h(2x_0+h)}{h}\\\\\Leftrightarrow \lim_{h \to 0} (2x_0+h) = 2x_0$

La limite étant finie, on admet donc que f'( $x_0$ ) = $2x_0$

f est dérivable sur $\mathbb R$ et $x_0 \in \mathbb R$

$\forall \ x \in \mathbb R \ \ f'(x) = 2x$

Fonctions dérivées usuelles

Rappel : f une fonction définie sur I. f est dérivable sur I si elle est dérivable pour tout x, réel appartenant à I. La fonction qui à tout x de I associe le nombre dérivé de f en x est appelé fonction dérivée de f et notée f'.

Formules de dérivation des fonctions usuelles :

$f(x)=a \ \ \ \ avec\ a \in \mathbb R \ \ \ f'(x) = 0\\\\f(x) = ax\ \ avec \ a \in \mathbb R \ \ \ f'(x) = a\\\\f(x) = x^{2} \ \ d\'efinie \ sur \ \mathbb R \ \ f'(x) = 2x\\\\f(x) = x^{n} \ \ d\'efinie \ sur \ \mathbb R \ \ f'(x) = nx^{n-1} \ \ et\ n\ge1\\\\f(x) = \frac{1}{x} \ \ d\'efinie \ sur \ \mathbb R* [sauf (0)] \ \ f'(x) = -\frac{1}{x^{2}} \\\\f(x) = \frac{1}{x^{n}}\ \ d\'efinie \ sur \ \mathbb R* [sauf (0)] \ \ f'(x) = -\frac{n}{x^{n+1}}$

$f(x) = \sqrt{x} \ \ d\'efinie \ sur \ [0; +\infty[ \ \ \ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \ d\'erivable \ sur \ ]0; +\infty[$

Espérant que ce cours t'aura aidé, je te souhaite une excellente continuation.

Vous pouvez retrouver nos cours sur notre Blog ;)

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