i² = - 1  ;   i³ = i² x i = - i ;    i⁴ = i² x i² = 1

1)

puissances de i

i⁰= 1    ;   i¹= i   ;  i²= - 1   ;  i³= - i   ;    i⁴= 1    ;    i⁵= i    ;    i⁶= - 1     ;   i⁷= - i  

tous les quatre exposants on retrouve la même valeur. Tous les multiples de 4 on est à 1

1 ;   i  ; -1  ;  -i

la somme de ces 4 nombres est 0

i²⁰¹⁹    on divise 2019 par 4

2019 = 4 x 504 + 3  le reste est 3

on groupe les nombres par 4 depuis le début, tous les groupes valent 0 il reste 3 nombres

1 + i + (-1) dont la somme est i

Z1 = i

Z2 = i⁰ -  i¹ + i² -  i³ + i⁴ -  i⁵ + i⁶ -  i⁷ + i⁸- i⁹ + i¹⁰ ....

       1  -  i   - 1  +  i  + 1   - i   - 1  +  i

       <-----  0 -----> <------  0-- - ---->

même procédé. Il suffit de diviser 2020 par 4

2020 est un multiple de 4 reste 0

Z2 = 0