Réponse :

Explications étape par étape

■ re-bonjour ! ☺

■ 1a) U1 = 2 ; Un+1 = [ (n+1) * Un + n - 1 ] / (2n) ♥

■ U2 = [ 2 * 2 + 1 - 1 ] / 2 = 2 .

■ U3 = [ 3 * 2 + 2 - 1 ] / 4 = 7/4 = 1,75 .

■ U4 = [ 4 * 1,75 + 3 - 1 ] / 6 = 9/6 = 1,5 .

■ U5 = [ 5 * 1,5 + 4 - 1 ] / 8 = 1,3125 .

■ U6 = [ 6 * 1,3125 + 5 - 1 ] / 10 = 1,1875 .

■ U7 = [ 7 * 1,1875 + 6 - 1 ] / 12 ≈ 1,11

■ U8 = [ 8 * 1,11 + 7 - 1 ] / 14 = 1,0625

■ U9 = [ 9 * 1,0625 + 8 - 1 ] / 16 ≈ 1,035

■ U10 = [ 10 * 1,035 + 9 - 1 ] / 18 ≈ 1,02

■ U11 = [ 11 * 1,02 + 10 - 1 ] / 20 ≈ 1,01

■ U12 = [ 12 * 1,01 + 11 - 1 ] / 22 ≈ 1,006

■ U13 = [ 13 * 1,006 + 12 - 1 ] / 24 ≈ 1,003

■ U14 = [ 14 * 1,003 + 13 - 1 ] / 26 ≈ 1,002

■ U15 = [ 15 * 1,002 + 14 - 1 ] / 28 ≈ 1,001

■ U16 = [ 16 * 1,001 + 15 - 1 ] / 30 ≈ 1,0005

■ U17 = [ 17 * 1,0005 + 16 - 1 ] / 32 ≈ 1,00026

■ U18 = [ 18 * 1,00026 + 17 - 1 ] / 34 ≈ 1,00014

■ U19 = [ 19 * 1,00014 + 18 - 1 ] / 36 ≈ 1,00007

■ U20 = [ 20 * 1,00007 + 19 - 1 ] / 38 ≈ 1,00004

■ 1b) cherchons la Limite :

   2n * L = (n+1) * L + n - 1

      2nL = nL + L + n - 1

        nL = L + n - 1

   nL - L = n - 1

(n-1) * L = n - 1

          L = 1 .

   conclusion :

  la suite (Un) est décroissante

             et admet pour Limite 1 .

■ 2a) Vn = (Un - 1) / n ♥

        V1 = 1 ; V2 = 0,5 ; V3 = 0,25 ; V4 = 0,125 ;

        V5 = 0,0625 ; ...

        la suite (Vn) est donc une suite géométrique

        décroissante de terme initial V1 = 1

        et de raison 1/2 = 0,5 .

        utiliser la récurrence pour le démontrer avec rigueur !

■ 2b) Vn = 0,5 puissance (n-1) ♥

■ 2c) Un - 1 = n * 0,5 puiss(n-1) donne

         Un = [ n*0,5 puiss(n-1) ] + 1 .

■ 2d) Un+1 - Un = (n+1)*0,5 puiss(n) - n*0,5 puiss(n-1)

                          = (0,5n+0,5)*0,5 puiss(n-1) - n*0,5 puiss(n-1)

                          = (0,5n+0,5-n) * 0,5 puiss(n-1)

                          = (0,5-0,5n) * 0,5 puiss(n-1)

                          = (1-n) * 0,5 * 0,5 puiss(n-1)

                          = (1-n) * 0,5 puiss(n) .

■ 2e) Un+1 - Un est donc toujours négatif pour n ≥ 1 ;

          donc Un+1 < Un ;

         d' où la suite (Un) est bien décroissante !