f(x) = x² + 2x - 3

1)

A point d'abscisse -3 :  ordonnée f(-3) = 9 + 2*(-3) - 3 = 0

A(-3 ; 0)

f'(x) = 2x + 2

f'(-3) = -6 + 2 = -4

La tangente en A a pour coefficient directeur -4

son équation réduite est de la forme y = -4x + b

on calcule b en écrivant qu'elle passe par le point A

y =     -4x     + b

0 = (-4)*(-3)  + b

b = -12

équation T₋₃ : y = -4x -12

B point d'abscisse 0       B(0 ; -3)

f'(0) = 2

équation T₀ : y = 2x - 3

2) tableau des signes

on factorise f(x)

on a vu que -3 est une racine de x² + 2x - 3

le produit des racines est c/a

ici c/a = -3/1 = -3

la seconde racine est 1

f(x) = (x - 1)(x + 3)

ce trinôme a le signe du coefficient de x (c'est 1, donc positif) sauf pour les valeurs de x comprises entre les racines

x                  -3                    1                  

f(x)       +       0        -           0     +

3) tableau de variations

f'(x= = 2x + 2

elle s'annule pour x = -1

x          -inf                          -1                          +inf

f'(x)                    -                 0                +

f(x)                    ∖                -4                /

f(-1) = (-1)² + 2*(-1) - 3 = -4

4) pour la construire on calcule les coordonnées de quelques points