Réponse :

Bonjour

Exercice 1

Soit P la propriété : aⁿ - 1 est divisible par a - 1

Initialisation

Pour n = 1 , a¹ - 1 = a - 1

et a - 1 est divisible par a - 1

La propriété P est donc vraie au rang 1

Hérédité

Soit un certain n entier naturel tel que que P(n) soit vraie

On a donc aⁿ - 1 = k(a - 1)   (avec k entier relatif)

⇔ aⁿ = k(a - 1) + 1

⇔ a × aⁿ = a(k(a - 1) + 1)

⇔ aⁿ⁺¹ = ak(a - 1) + a

⇔ aⁿ⁺¹ - 1 = ak(a - 1) + a - 1

⇔ aⁿ⁺¹ - 1 = (a - 1)(ak + 1)

⇔ aⁿ⁺¹ - 1 = k'(a - 1) (avec k' = ak + 1 , donc k' entier puisque a et k sont entiers)

Donc aⁿ⁺¹ - 1 est divisible par a - 1

La propriété est donc vraie au rang n + 1 , elle est héréditaire

Conclusion

La propriété P est vraie au rang 1 , et elle est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout n entier non nul.

Donc quelque soit n entier non nul, aⁿ - 1 est divisible par a - 1