Bonjour ,

1)

Tu regardes la pièce jointe.

2)

U(n)=4 - 1/(n²+1)

Quand n varie de zéro à +∞ , le quotient 1/(n²+1) diminue car la fct inverse est décroissante sur son intervalle de définition.

lim [1/(n²+1)]=0

n--->+∞

Donc :

lim [4 - 1/(n²+1)}=4-0=4

n--->+∞

Donc :

lim U(n)=4

n-->+∞

Par ailleurs : U(0)=4-1/1=4-1=3

Donc :

3 ≤ U(n) < 4

3)

U(n)=(2n-6)/(n+1)

On va montrer que la suite U(n) est croissante :

U(n+1)-U(n)=[2(n+1)-6)/(n+1+1) - (2n-6)/(n+1)

U(n+1)-U(n)=(2n-4)/(n+2) - (2n-6)/(n+1)

On réduit au même dénominateur :

U(n+1)-U(n)=[(2n-4)(n+1)-(2n-6)(n+2)] / (n+2)(n+1)

Je te laisse développer le numérateur tranquillement et trouver à la fin :

U(n+1)-U(n)=8/(n+2)(n+1) > 0

Donc :

U(n+1)-U(n) > 0

U(n+1) > U(n) qui montre que (U(n)) est croissante.

De plus :

U(n)=n(2-6/n) / n(1+1/n)

Pour n > 0 , on peut simplifier par "n" :

U(n)=(2-6/n)/(1+1/n)

lim 6/n=0

n-->+∞

lim 1/n=0

n-->+∞

Donc :

lim U(n)=(2-0)/(1+0)=2/1=2

n-->0

Or U(0)=-6/1=-6

Donc :

-6 ≤ U(n) < 2