1) montrer que pour tout réel x  on a  f(x) = 1 - 1/(x²+1)

f(x) = x²/(x²+ 1) ⇔ f(x) = (x² + 1 - 1)/(x²+1) ⇔ f(x) = ((x²+ 1) - 1)/(x²+ 1)

⇔ f(x) = (x²+ 1)/(x²+ 1)  - 1/(x²+ 1)  ⇔ f(x) = 1 - 1/(x²+1)

2) déterminer le sens de variation de f sur R, dresser le tableau de variation

f(x) = 1 - 1/(x²+1) ⇒ la dérivée de fonction f  est f '(x) = 2 x/(x²+ 1)²

(x²+ 1)² > 0  quel que soit x ∈R

si  2 x ≥ 0 ⇒ x ≥ 0  ⇒ f '(x) ≥ 0 ⇒ la fonction f est croissante sur [0 ; + ∞[

si 2 x ≤ 0 ⇒ x ≤ 0 ⇒ f '(x) ≤ 0 ⇒ la fonction f est décroissante sur ]- ∞ ; 0]

Tableau de variation de f

f '(x) = 2 x/(x²+1)² = 0 ⇒ x = 0

f (x) = 1 - 1/(x²+1) ⇒ f(0) = 1 - 1/1 = 0

x     - ∞                              0                                 + ∞

f(x)  1→→→→→→→→→→→→→ 0 →→→→→→→→→→→→→→ 1

             décroissante             croissante  

3) a) soit x un réel ;  comparer  f(- x) et  f(x)

f(x) = 1 - 1/(x²+ 1)

f(- x) = 1 - 1/( (- x)² + 1) = 1 - 1/(x² + 1)

⇒ f(x) = f(-x)

b) quelle est la conséquence graphique pour les points M(x ; f(x)) et M'(- x ; f(-x)) de Cf

M'(- x ; f(x)) est le symétrique de M(x ; f(x)) par rapport rapport à x = 1

c) qu'en déduit -on pour la courbe Cf : la courbe Cf possède un axe de symétrie  x = 1

la proposition 0 ≤ f(x) < 1 pour tout x est-elle vraie ou fausse justifier

f est décroissante pour x < 0  f(0) = 0

f est croissante pour x > 0   Limite f(x) = 1 pour x tendant vers l'infini ⇒  0 ≤ f(x) < 1  

j' ai répondu à ce devoir --> voir n° 194 75 22 .