Réponse :

Explications étape par étape :

Partie A

1/

Le bénéfice sera supérieur ou égal à 13 000 € pour une production comprise entre 2450 et 3400 poulies

2/

L'entreprise réalise un bénéfice maximum pour une production de 30 000 poulies. Ce bénéfice est d'environ 15100€.

3/

L'entreprise ne travaille pas à perte pour une production comprise entre 300 et 3600  poulies

Partie B

B(x)=-5 + (4-x)eˣ

1/

[tex]B(x)=-5+(4-x)e^x\\B'(x)=-e^x+(4-x)e^x\\B'(x)=(-1+4-x)e^x\\B'(x)=(3-x)e^x[/tex]

2/

[tex]e^x > 0\\3-x > 0\\3 > x[/tex]

Sur l'intervalle [0 ; 3], B'(x) > 0 et B est croissante

Sur l'intervalle [3 ; 3,6], B'(x) < 0 et B est décroissante

Pour x=3, B'(x)=0 et B atteint son maximum B(3)=-5+(4-3)e³=5+e³

3/

Tableau de variation

Pour x compris dans l'intervalle [0;3] B est croissante et prend ses valeurs entre -5+(4-0)e⁰=-1

Pour x compris dans l'intervalle [3;3,6], B est décroissante et prend ses valeurs entre 5+e³ et B(3,6)=-5+(4-3,6)e^3,6=5+0,4e^3,6

4/

y=B'(2)(x-2)+B(2)

[tex]B'(2)=(3-2)e^2=e^2\\B(2)=-5+(4-2)e^2=-5+2e^2\\y=e^2(x-2)-5+2e^2\\y=e^2x-2e^2-5+2e^2\\y=e^2x-5[/tex]