Réponse :

Explications étape par étape :

1) Equation homogène associée :

y'' + y' - 2y = 0

Equation caractéristique : r² + r - 2 = 0

Δ = 1² - 4*1*(-2) = 9

2 racines : r₁ = (-1-3)/2 = -2 et r₂ = (-1+3)/2 = 1

y = Keˣ + K'e⁻²ˣ est solution de l'équation homogène

2)Solution particulière

(2 + 6x)eˣ

1 est une racine de l'équation caractéristique donc une solution particulière sera de la forme : (ax² + bx + c)eˣ

Cette solution vérifie l'équation différentielle :

• y = (ax² + bx + c)eˣ
• y' =(2ax + b + ax² + bx + c)eˣ = (ax² + (2a + b)x +b + c)eˣ
• y'' = (2ax +2a + b + ax² +(2a + b)x + b +c)eˣ
• y'' = (ax² +(2a +2a + b)x +2a + b + b + c)eˣ
• y'' = (ax² +(4a + b)x + 2a + 2b + c)eˣ

y'' + y' -2y = (ax² + (4a+b)x + 2a+2b+c+ax²+(2a+b)x+b+c-2ax²-2bx-2c)eˣ

=(4a +b+2a+b-2b)x 2a+2b+c+b+c-2c)eˣ = (6ax+2a+3b)eˣ = (6x+2)eˣ

• 6a = 6 ⇒ a = 1
• 2a +3b = 2 ⇔ 2 + 3b = 2 ⇔ b = 0

Solution particulière : x²eˣ

Solution générale

y = Keˣ + K'e⁻²ˣ + x²eˣ

y(0)=1 ⇒ K + K' = 1

y'(0)=0 ⇒ K - 2K' = 0

K = 1 - K'

1 - K' - 2K' = 0

-3K' = -1

K' = 1/3

K = 2/3

Solution générale  : y =2/3eˣ + 1/3e⁻²ˣ + x²eˣ