Bonjour, Jai un exercice de mathématique à faire pour aujourd'hui à 13h et je n'arrive pas à le fair.... Pergunta de ideia deAnitaBlake

October 2020 1 53 Report

Bonjour,
Jai un exercice de mathématique à faire pour aujourd'hui à 13h et je n'arrive pas à le faire.
Pouvez vous m'aider.
Cordialement.

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godetcyril

Réponse : Bonjour,

1)a) D'après l'inégalité de majoration de la valeur absolue d'une intégrale:

$|I_{n}|=|\int_{0}^{1} \ln(1+x^{n})dx| \leq \int_{0}^{1} |\ln(1+x^{n})| dx \leq \max_{x \in [0;1]} \ln(1+x^{n})(1-0)$

Comme la fonction $x \mapsto \ln(1+x^{n}) \geq 0$ , sur l'intervalle [0;1], alors on en déduit que $\int_{0}^{1} \ln(1+x^{n}) dx \geq 0$ .

On en déduit donc que $|\int_{0}^{1} \ln(1+x^{n}) dx|=\int_{0}^{1} \ln(1+x^{n}) dx$ .

On en déduit aussi que $|\ln(1+x^{n})|=\ln(1+x^{n})$ , pour $x \in [0;1]$ .

L'inégalité précédente devient:

$I_{n}=\int_{0}^{1} \ln(1+x^{n}) dx \leq \max_{x \in [0;1]} \ln(1+x^{n})(1-0)$

Le maximum de $x \mapsto \ln(1+x^{n})$ est $\ln(1+1)=\ln(2)$ , car cette fonction est la composée de $x \mapsto 1+x^{n}$ et $x \mapsto \ln(x)$ , qui sont deux fonctions croissantes sur $]0;+\infty[$ .

On a donc que:

$0 \leq I_{n} \leq \ln(2) \times 1\\0 \leq I_{n} \leq \ln(2)$

b) On calcule $I_{n+1}-I_{n}=\int_{0}^{1} \ln(1+x^{n+1}) dx-\int_{0}^{1} \ln(1+x^{n}) dx=\int_{0}^{1} \ln(1+x^{n+1})-\ln(1+x^{n}) dx$ .

Or on sait que pour $x \in [0;1], x^{n+1} \leq x^{n}$ , pour tout entier naturel n:

$x^{n+1} \leq x^{n}\\1+x^{n+1} \leq 1+x^{n}\\\ln(1+x^{n+1}) \leq \ln(1+x^{n}) \quad car \; la \; fonction \; \ln \; est \; croissante \; sur \; [0;1]$ .

On en déduit donc que pour tout $x \in [0;1], \ln(1+x^{n+1})-\ln(1+x^{n}) \leq 0$ , et donc que :

$I_{n+1}-I_{n}=\int_{0}^{1} \ln(1+x^{n+1})-\ln(1+x^{n}) dx \leq 0\\I_{n+1} \leq I_{n}$

Comme pour tout entier $n \geq 1, I_{n+1} \leq I_{n}$ , on en déduit alors que la suite $(I_{n})$ est décroissante.

c) La suite I est minorée par 0 et décroissante, on en déduit que la suite I converge.

2)a) On calcule la fonction dérivée g':

$g'(x)=\frac{1}{1+x}-1=\frac{1-(1+x)}{1+x}=\frac{1-1-x}{1+x}=\frac{-x}{1+x}$

Pour $x \in [0;+\infty[, -x \leq 0$ et $1+x > 0$ , on en déduit que sur cet intervalle, $g'(x) \leq 0$ .

On en déduit que la fonction g est décroissante sur l'intervalle [0;+∞[.

On a donc le tableau de variations suivant:

x 0 +∞

g'(x) Ф -

g(x) g(0)=0 (décroissant)

b) D'après le tableau de variations précédent, on en déduit que pour $x \in [0;+\infty[, g(x) \leq 0$ .

c) A la question précédente, on a vu que pour $x \in [0;+\infty[, g(x) \leq 0$ , donc que:

$g(x) \leq 0\\\ln(1+x)-x \leq 0\\\ln(1+x) \leq x$

De plus, pour $x \in [0;+\infty[, x^{n} \geq 0$ , donc $x^{n} \in [0;+\infty[$ .

On a donc que pour $x \in [0;+\infty[, g(x^{n}) \leq 0$ , et donc que:

$g(x^{n}) \leq 0\\\ln(1+x^{n})-x^{n} \leq 0\\\ln(1+x_{n}) \leq x^{n}$

Donc pour tout $x \in [0;+\infty[$ et pour tout $n \geq 1, \ln(1+x^{n}) \leq x^{n}$ .

3) D'après la question précédente, pour tout $x \in [0;+\infty[$ , et pour tout entier $n \geq 1, \ln(1+x^{n}) \leq x^{n}$ , donc:

$\ln(1+x^{n}) \leq x^{n}\\\int_{0}^{1} \ln(1+x^{n}) dx \leq \int_{0}^{1} x^{n} dx\\\int_{0}^{1} \ln(1+x^{n}) dx \leq [\frac{x^{n+1}}{n+1}]_{0}^{1}=\frac{1}{n+1}\\ I_{n} \leq \frac{1}{n+1}$

Et $\lim_{n \mapsto +\infty} \frac{1}{n+1}=0$ , et comme $0 \leq I_{n} \leq \frac{1}{n+1}$ , d'après le théorème des gendarmes, $\lim_{n \mapsto +\infty} I_{n}=0$ .

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Bonsoir, pouvez-vous m'aider je n'y comprends rien. C'est urgent, merci d'avance.

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AnitaBlake May 2019 | 0 Respostas

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