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Réponse :

Explications étape par étape :

Utilisons la représentation graphique pour déterminer f(-4).
LECTURE GRAPHIQUE : Alors, sur ce graphique, tu peux voir que le point de la courbe qui est à "la verticale" de x=-4 est en dessous de l'axe des x (donc son y est négatif), et à peu près à "un quart de carreau "ce qui signifie qu'on devrait trouver f(-4) = -0,25. Ca, ce n'est pas des maths, c'est juste pour fixer les idées.

DETERMINATION DE LA TANGENTE T1

On va se servir de ce qu'on a  : on a la tangente à la courbe en x=-4 y=f(-4)

 VOIR deux points faciles sur T1

Cette tangente passe par le point P1 (3, -1) (3 pas à droite sur l'axe des x, un pas vers le bas parallélement à l'axe des y)  et par le point P2 (-5.5 , 0 ) (tout à fait à gauche, là où la tangente coupe l'axe des x).

Ces deux points vont nous permettre de calculer l'équation de la droite tangente.

 CALCULER l'équation de la droite T1

L'équation est de la forme y = ax +b  

a non nul, car la tangente n'est pas horizontale.
Si elle l'était, l'équation serait de la forme y=b

P1 est sur la droite, donc  on remplace x par 3 et y par -1 on obtient :

-1 = a.3 + b  soit

3a +b = -1

De même P2 (-5.5 , 0) :  0=-5,5a +b

Système :

(A) 3a      +b = -1    ⇒ b = 3a -1  (spoiler :** !!)

(B) -5,5a  +b=  0    ⇒ b = 5,5a

On en déduit : 3a -1 = 5,5a ⇒ -1 = 2,5a ⇒ -1/2,5 = a

On a donc a = -1/2,5   . Astuce : 2,5 = 10/4 donc 1/2,5 = 4/10 = 0,4

Finalement :

a= -0,4

b = 1,2 - 1 = 0,2

T1, la tangente à la courbe en x=-4 a pour équation :

y = -0,4 x + 0,2

Vérifions : P1 (3, -1) ∈ T1 donc normalement -1 = (-0,4)(3) + 0,2 = -1,2+0,2 = -1  Cette équation est vérifiée pour P1. Fais pareil pour P2 (-5.5 , 0)

0 = -0,4 (-5,5) + 0,2 = 2,2 + 0,2 = 2,4 . ZUT ! 0 n'est pas égal à 2, 4 donc mon équation de droite est fausse.

Je me suis trompé mais où ? Là où j'ai marqué (spoiler :** !!)

P1 (3, -1) ok P2 (-5.5 , 0) ok

T1 a pour équation y = ax+b , a ? b ?

-1 = a (3) +b

0 = a(-5,5)+b

différence des 2 égalités pour éliminer b : -1-0 = a(3+5,5)

-1 = a.8,5  donc a = -1/8,5   donc a= -2/17

On remplace a dans -1 = a (3) +b  donc -1 = -6/17 + b donc b= -1+6/17= (-17+6)/17 donc b= -11/17

T1 a pour équation : y = -2/17 x -11/17  soit

y=(-2x -11) /17

Vérification pour P1 : -1 = (-2(3) -11) /17 = (-6-11)/17 = -1  OK

et pour P2 :  0 = (-2(-5,5)  -11 )/17 = 0/17 = 0 OK

T1 a pour équation   y = 1/17 * (-2x - 11)

EN DEDUIRE le nombre dérivé f'(-4)

L'équation de la tangente au point ( -4, f(-4) ) est liée à ce nombre dérivé par la formule :

Pour tout point (x,y) de T1 , on a :  f'(-4) = [y - f(-4)] / [x - (-4)]

( dans le jargon , on dit :

nombre dérivé en -4 = différence des Y sur différence des X  )

f'(-4) = [y - f(-4)] / [x - (-4)] donne : y - f(-4) = f'(-4) * [x - (-4)]

donc y  = f'(-4) * [x - (-4)] +  f(-4) . Développons

y = f'(-4)*x +4 f'(-4) + f(-4)

Si on rapproche ça de l'équation précédente

y = -2/17 x -11/17     , et bien, comme c'est vrai pour tout (x,y) sur T1, alors

f'(-4) = -2/17    (premier élément de solution)

4 f'(-4) +f(-4) = -11/17  On remplace f'(-4) par sa valeur

4 (-2/17) + f(-4) = -11/17 soit

f(-4) = -11/17 +8/17 = -3/17

Réponse : L'image de -4, càd f(-4) vaut -3/17 et son nombre dérivé f'(-4) vaut -2/17

Tu remarqueras que le nombre dérivé f'(-4) est le coeff directeur "a" dans l'équation y=ax +b   ici y = -2/17 x -11/17  et que f(-4) s'obtient en remplaçant dans cette équation x par -4 : -2/17 fois -4 -11/17= -3/17

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Pour 1 : tu fais pareil T2 passe par A (0, -5) et B (3,2)

y=ax+b pour A : -5=b   et pour B : 2=3a-5 soit 3a=7 donc a=7/3

T2 a pour équa y=7/3 x -5

Donc f'(1) = 7/3 et f(1) = 7/3 - 5 = 7/3 -15/3 = -8/3