Réponse :

1) expliquer pourquoi le bénéfice horaire réalisé par fabrication et la vente de x appareils  est égal à B(x) = - x² + 50 x - 100

B(x) = R(x) - C(x)

      = 100 x - (x² + 50 x + 100)

      = 100 x - x² - 50 x - 100

      = - x² + 50 x - 100

b) calculer B '(x) et étudier son signe

B '(x) = - 2 x + 50 ⇒ B '(x) = - 2 x + 50 = 0 ⇒ x = 50/2 = 25

B(25) = - 25² + 50*25 - 100

        = - 625 + 1250 - 100 = 525

Tableau de signe de B '(x)

x          5                          25                        40

B '(x)                 +              0             -

c) dresser le tableau de variation de B  sur [5 ; 40]

x       5                                25                            40

B(x)    125 →→→→→→→→→→→ 525 →→→→→→→→→→→ 300

                  croissante                décroissante

d) quel est le nombre d'appareil à produire pour que le bénéfice horaire soit maximal

 pour avoir le bénéfice maximal, il faut produire 525 appareils

3) le coût moyen de production d'un objet  est

            f(x) = C(x)/x           x ∈ [5 ; 40}

a) montrer que f(x) = x + 50 + 100/x

  f(x) = C(x)/x

        = (x² + 50 x + 100)/x

        = x[(x + 50) + 100/x]/x

        = x + 50 + 100/x

puisque f '(x) = (x - 10)(x + 10)/x²     pour  x ∈[5 ; 40]

b) étudier le signe de f '(x)

x       5                       10                    40

f '(x)              -             0           +

et dresser le tableau de variation  de f sur [5 ; 40]

x      5                            10                          40

f(x)   75 →→→→→→→→→→  70 →→→→→→→→→→→92.5

              décroissante          croissante

c) pour quelle valeur de x le coût moyen est-il minimal

   le coût moyen est minimal (70) pour x = 10

3) le bénéfice est-il maximal lorsque le coût moyen est minimal

il faut tracer les deux courbes pour répondre à la question

Explications étape par étape