Réponse :

calculer la fonction dérivée de chacune des  fonctions suivantes

a) f(x) = 2 x√x      f est définie pour  x ≥ 0  ⇔ [0 ; + ∞[

   f ' (x) = (u x v) ' = u' v + v' u = 2 √x + (1/2√x) * 2 x = 2√x + x/√x

= 2 √x + x√x/x =  2√x + √x = 3√x

donc  f '(x) = 3√x

u = 2 x  ⇒ u' = 2

v = √x   ⇒ v' = 1/2√x

b) g(x) = (2 x - 3)/(3 x + 2)    g est définie pour  x ≠ - 2/3

   g '(x) = (u/v)' = (u' v - v' u)/v² = (2(3 x + 2) - 3(2 x - 3))/(3 x+2)²

= (6 x + 4 - 6 x + 9)/(3 x +2)² = 13/(3 x + 2)²

 g '(x) = 13/(3 x + 2)²

u = 2 x - 3 ⇒ u' = 2

v = 3 x + 2 ⇒ v' = 3

c) h(x) = 5 x⁵ - 4 x⁴ + 3 x³ - 2 x² - 2/x + 3√x     h est définie pour x > 0

   h '(x) = 25 x⁴ - 16 x³ + 9 x² - 4 x + 2/x² + 3/2√x

EX2

déterminer au point d'abscisse a = - 1/2 l'équation de la tangente à Cf

f(x) = - 2 x³ - 3 x² - 6 ⇒ f '(x) = - 6 x² - 6 x

l'équation de la tangente est :  y = f(a) + f '(a)(x - a)

a = - 1/2

f '(a) = f '(- 1/2) =   - 6 (-1/2)² - 6 (- 1/2) = - 6/4 + 6/2 = 6/4 = 3/2

f (a) = f(-1/2) = - 2 (-1/2)³ - 3 (-1/2)² - 6 = 1/4 - 3/4 - 6 = (1 - 3 - 24)/4 = - 26/4 =

f(-1/2) = - 13/2

y = - 13/2 + 3/2(x + 1/2) = - 13/2 + 3/2 x + 3/4

donc  y = 3/2) x - 23/4  est l'équation de la tangente à la courbe Cf  au point d'abscisse - 1/2

Explications étape par étape