bjr

(E)  2x⁴ - 9x³ + 8x² - 9x + 2 = 0      

1)

a) 9

si l'on donne à x la valeur 0 le 1er membre vaut 2

                 0 n'est pas solution de cette équation

b)

puisque x = 0 n'est pas solution on peut diviser les deux membres par x²

d'où (E')

2)

X = x + 1/x

a)

         X² = (x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x²   (1)

b)

2x² -9x + 8 - 9/x + 2/x² =

2x² + 2/x²  - 9x - 9/x + 8 =

2(x² + 1/x²) - 9(x + 1/x) + 8 =        [ (1) <=> X² - 2 = x² + 1/x² ]

2(X² - 2) - 9X + 8 =

2X² - 4 - 9X + 8 =

2X² - 9X + 4

 d'où (E') <=>  2X² - 9X + 4 = 0   avec  X = x + 1/x

c)

on résout l'équation en X

2X² - 9X + 4 = 0

Δ = b² − 4ac = (-9)² - 4*2*4 = 81 - 32 = 49 = 7²

il y a deux solutions

X1 = (9 - 7)/4 = 2/4 = 1/2          et         X2 = (9 + 7)/4) = 16/4 = 4

on revient à la variable x

x + 1/x = 1/2            ou        x + 1/x = 4

il reste à résoudre ces deux équations

• x + 1/x = 1/2   <=>  2x² -x + 2 = 0

• x + 1/x = 4     <=>  x² - 4x + 1 = 0

la 1ere n'a pas de racines réelles

la seconde a pour racines  : 2 - √3    et    2 + √3