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Réponse :

Explications étape par étape :

1) Deux courbes sont tangentes en un point lorsqu'en ce point, les deux courbes ont la même tangente.

Equation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse e² :

f(e²) = ln(e²) = 2

f(x)=ln(x) ⇒ f'(x) = 1/x ⇒ f'(e²) = 1/e²

y = 1/e²(x - e²) + 2 ⇒ y =(1/e²)x + 1

Equation de la tangente à la courbe de g au point d'abscisse e²

g(x) = (2/e)√x ⇒ g'(x) = (2/e)*1/(2√x) = 1/e√x

g'(e²) = 1/e√e² = 1/e² et g(e²) = 2/e * √e² = 2

y = g'(e²)(x - e²) + g(e²) = 1/e²(x - e²) +2 = (1/e²)x -1+2 = (1/e²)x + 1

les deux courbes sont tangentes au point d'abscisse e².

2a) F(x) = xln(x) - x ⇒ F'(x) = 1*ln(x) + x*(1/x) - 1= ln(x)+ 1 -1 = f(x)

   F(x) = xln(x) - x est une primitive de la fonction f.

   G(x) = (4/3e)x√x ⇒ G'(x= (4/3e)[√x + x/(2√x)] = (4/3e)(√x+√x/2) =

  = (4/3e)((3/2)√x) = (2/e)√x = g(x)

G(x) = (4/3e)x√x est une primitive de la fonction g

2b) La courbe de g est audessus de la courbe de f  donc l'aire en violet est égale à lintégrale entre 0 et e² de g(x) diminuée de l'intégrale entre 1 et e² (on rappelle que ln(1) = 0)

A = G(e²) - G(0) - [F(e²) - F(1)]

• G(e²) = (4/3e)*e²*√e² = (4/3)e²
• G(0) = 0
• F(e²) = e²ln(e²) - e² = e²
• F(1) = 1*ln(1) - 1 = -1

G(e²) - G(0) = (4/3)e²

F(e²) - F(1) = e² + 1

A = (4/3)e²  - e² - 1

A = (1/3)e² - 1  u.a.