Bonjour, je suis nul en probabilité, j'ai besoin d'aide svp. Merci!
Une entreprise fabrique industriellement des pains de margarine. Leurs emballages portent notamment l’indication suivante : poids net : 500 grammes.
1. On estime que le poids, en grammes, d’un pain produit, est une variable aléatoire qui suit une loi normale, de moyenne 520 et d’écart type 20.
On suppose que les poids des différents pains produits sont indépendants les uns des autres. A l’emballage, un pain est refusé si son poids est inférieur ou égal à 490 grammes
a) Un pain arrive à l’emballage.
• Déterminer la probabilité qu’il soit refusé
• Déterminer la probabilité que son poids dépasse 550 grammes
• Déterminer la probabilité que son poids soit compris entre 500 et 540 grammes
b) A partir de quel poids doit-on refuser un pain si on veut que seulement 1 % des pains soit refusés ?
c) Deux pains arrivent à l’emballage.
Calculer la probabilité de chacun des deux événements suivants :
A : « les deux pains sont refusés »
B : « l’un au moins des pains est refusé ».
Une entreprise fabrique industriellement des pains de margarine. Leurs emballages portent notamment l’indication suivante : poids net : 500 grammes.
1. On estime que le poids, en grammes, d’un pain produit, est une variable aléatoire qui suit une loi normale, de moyenne 520 et d’écart type 20.
On suppose que les poids des différents pains produits sont indépendants les uns des autres. A l’emballage, un pain est refusé si son poids est inférieur ou égal à 490 grammes
a) Un pain arrive à l’emballage.
• Déterminer la probabilité qu’il soit refusé
• Déterminer la probabilité que son poids dépasse 550 grammes
• Déterminer la probabilité que son poids soit compris entre 500 et 540 grammes
b) A partir de quel poids doit-on refuser un pain si on veut que seulement 1 % des pains soit refusés ?
c) Deux pains arrivent à l’emballage.
Calculer la probabilité de chacun des deux événements suivants :
A : « les deux pains sont refusés »
B : « l’un au moins des pains est refusé ».
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Réponse :
Explications étape par étape :
■ Lola avoue être nulle en proba ! ☺
■ masse moyenne = 520 grammes ; écart-type = 20 gram .
■ le cours dit qu' on a :
- 68% de chances d' avoir un pain de masse comprise
entre 520-20 = 500 gram et 520+20 = 540 grammes .
- 95% de chances d' avoir un pain entre
520-40 = 480 gram et 520+40 = 560 grammes
- 100% de chances d' avoir un pain entre
520-60 = 460 gram et 520+60= 580 gram
on pourrait construire ce graphique :
460 gram 480 500 540 560 580 gram
<---68%-->
<13,5%> <13,5%>
■ a) proba(refusé) = proba(≤490gram) = (5%/2) + (13,5%/2) ≈ 9% = 0,09
■ a) p(>550gram) = 0,09 aussi .
■ a) p(500<m<540) = 0,68 .
■ b) si on met la masse limite de refus à 470 gram :
proba(<470gram) = 2,5%/2 = 1,25%
■ c) revenons à la limite 490 gram :
proba(2 refusés) = 0,09² ≈ 0,008 ( moins de 1% )
proba(2 acceptés) = (1-0,09)² ≈ 0,828 ( soit 83% )
proba(1 ou 2 refusés) ≈ 1-0,828 = 0,172 ( soit 17% )
On considère la variable aléatoire Y mesurant le nombre de pains refusés par semaine. Le contrôle qualité se fait sur un échantillon de 50 pains prélevé
dans les pains de la semaine. Si dans l’échantillon observé, on compte 5 pains refusés, donner une estimation de la proportion de pains refusés dans la production de la semaine, au degré de confiance de 95%.
a) Pour une production mensuelle de 40000 pains, déterminer la loi suivie par le bénéfice R mensuel.
b) Déterminer la probabilité que le bénéfice soit bien positif.