Explications étape par étape:

Bonsoir, l'énoncé de l'exercice est parfois pernicieux, dans l'ensemble il reste accessible. La difficulté étant, de base, d'avoir les notions, puis les déployer en décryptant des énoncés.

1a- En reformulant la phrase, la quantité que les clients sont prêts à acheter, équivaut au nombre de tote bags potentiellement achetés. (+ littéraire que mathématique, je te l'accorde).

Sachant que le prix de vente vaut 6€, il suffit de calculer g(6) = 180*exp(-0,12*6) = 71,73 en arrondissant au centième. Cependant, il est impossible d'acheter une partie d'un tote bag, puisqu'ils se vendent à l'unité. Visiblement, on ne peut pas en fabriquer 72 centaines, on va donc en prendre 71 centaines.

Finalement, avec cette configuration, g(6) = 71.

b- En appliquant un raisonnement analogue au précédent, la quantité que l'entreprise est prête à fabriquer, équivaut au nombre de tote bags que l'entreprise peut produire.

Autrement dit, on aura f(6) = 60-20 = 40. (attention, il s'agit de 40 centaines, soit 4000 tote bags).

c- Pour résumer, les clients sont prêts à acheter 71 centaines de tote bags. L'entreprise, est prête à en fabriquer 40. Par conséquent, l'entreprise est perdante, 71-40 = 31 centaines de tote bags qui auraient pu être fabriqués, et potentiellement achetés.

2-a- Ici aucune difficulté, du classique, h est bien définie sur l'intervalle [5;10], elle est aussi dérivable dessus par opérations de fonctions dérivables sur [5;10].

On aura : h(x) = g(x) - f(x) = 180*exp(-0,12x) - 10x + 20.

On dérive : h'(x) = -0,12*180*exp(-0,12x) - 10 (on rappelle que la dérivée de exp(u), c'est u'*exp(u)). Donc h'(x) = - 21,6*exp(-0,12x) - 10.

Pour étudier son signe, petit rappel, l'exponentielle d'un réel est toujours positive. Autrement dit, pour tout reel x, exp(-0,12x) > 0. Par conséquent, -21,6*exp(-0,12x) < 0, puis en soustrayant 10, on reste en négatif.

Finalement, pour tout réel x, a fortiori sur [5;10], h'(x) est strictement négatif.

b- Pour le tableau de variations, je te laisse t'en occuper, il est plutôt simple. Une grande flèche décroissante, définie sur [5 ; 10].

c- II peut être judicieux ici, d'étudier les valeurs extrêmes que peut prendre h. Calculons h(5) et h(10) :

h(5) = g(5) - f(5) = 180*exp(-0,12*5) - 50 + 20 = 68,77 en arrondissant au centième.

h(10) = g(10) - f(10) = 180*exp(-0,12*10) - 100 + 20 = -25,79.

La fonction h est continue, strictement décroissante sur [5 ; 10], avec h(5) positif, et h(10) négatif. Ainsi, en vertu du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel alpha entre 5 et 10, tel que h(alpha) = 0.

Pour trouver une valeur approchée de alpha, tu n'as pas d'autre choix, que de la déterminer graphiquement avec ta calculatrice. N'en ayant pas sous la main, je te laisse regarder.

d- Le prix d'équilibre, représente simplement le prix, tel que g(x) = f(x), autrement dit, que g(x) - f(x) = 0. Or, g(x) - f(x) = h(x), le prix d'équilibre vaut donc x = alpha.