Réponse :

Question 2) déterminer a et b entiers tels que (a + b√7)² = 88 - 30√7

(a + b√7)² = a² + 2ab√7 + 7b² = 88 - 30√7

⇔ a²+ 7b² = 88   et 2ab = - 30 ⇔ ab = - 15  ⇔ a = - 15/b      b ≠ 0

  (- 15/b)² + 7b² = 88 ⇔ 225/b²  + 7b² = 88  ⇔ 225 + 7b⁴ = 88b²

⇔ 7b⁴ - 88 b² + 225 = 0

on pose  B = b² ; on obtient :   7B² - 88B + 225 = 0

Δ = 7744 - 6300 = 1444 ⇒ √Δ = 38

B1 = (88+38)/14 = 9

B2 = (88 - 38)/14 = 25/7   cette valeur n'est pas un entier donc ne convient pas

b² = 9 ⇔ b = 3  ⇒ a = - 15/3 = - 5

             ; b = - 3  ⇒ a = - 15/-3 = 5  

 en déduire une écriture simplifiée de √(88 - 30√7)

or (5 - 3√7)² = 88 - 30√7  ⇔ √(88 - 30√7) = √(5 - 3√7)² = 5 - 3√7

  on peut aussi écrire :                 (- 5 + 3√7)² = 88 - 30√7 ⇔√(88 - 30√7) = √(-5 + 3√7)² = -5 + 3√7

Explications étape par étape